Determine os quatro primeiros termos de cada sequência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:
t_{n}=\frac{\sin (2 n+1)+n}{n}

Passo 1

O enunciado define a sequência
t_{n} = \frac{\sin(2n+1) + n}{n}
e pede os quatro primeiros termos, estudar sua convergência e determinar o limite, se existir. O conteúdo aqui é análise de sequência real e uso do Teorema do Confronto (squeeze) para o termo envolvendo \sin.

Passo 2

Vamos calcular explicitamente t_{1},t_{2},t_{3},t_{4}.
Para n=1:
t_{1} = \frac{\sin(2\cdot1+1) + 1}{1} = \sin(3) + 1 \approx 0{,}14112 + 1 = 1{,}14112.
Para n=2:
t_{2} = \frac{\sin(2\cdot2+1) + 2}{2} = \frac{\sin(5) + 2}{2} \approx \frac{-0{,}95892 + 2}{2} = \frac{1{,}04108}{2} = 0{,}52054.
Para n=3:
t_{3} = \frac{\sin(2\cdot3+1) + 3}{3} = \frac{\sin(7) + 3}{3} \approx \frac{0{,}65700 + 3}{3} = \frac{3{,}65700}{3} = 1{,}21900.
Para n=4:
t_{4} = \frac{\sin(2\cdot4+1) + 4}{4} = \frac{\sin(9) + 4}{4} \approx \frac{0{,}41212 + 4}{4} = \frac{4{,}41212}{4} = 1{,}10303.

Passo 3

Reescrevendo
t_{n} = \frac{n}{n} + \frac{\sin(2n+1)}{n} = 1 + \frac{\sin(2n+1)}{n}.
Como \sin(2n+1) está sempre em [-1,1], segue
-\,\frac{1}{n} \;\le\;\frac{\sin(2n+1)}{n}\;\le\;\frac{1}{n}.
E \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0. Pelo Teorema do Confronto, \lim_{n\to\infty}\frac{\sin(2n+1)}{n}=0. Logo
\lim_{n\to\infty}t_{n} = 1 + 0 = 1.
Portanto, a sequência converge.

Resposta

t_{1} \approx 1{,}14112
t_{2} \approx 0{,}52054
t_{3} \approx 1{,}21900
t_{4} \approx 1{,}10303
A sequência (t_{n}) é convergente e
\lim_{n\to\infty}t_{n} = 1.

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