Verifique a convergência das seguintes séries:
\sum \frac{1+(-1)^{n}}{4^{2 n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+(-1)^{n}}{4^{2n}}.
O conteúdo principal é séries numéricas — em particular, reconhecer uma série geométrica após simplificar o termo geral.

Passo 2

Note que
4^{2n} = (4^2)^n = 16^n,
logo o termo geral fica
a_n = \frac{1+(-1)^{n}}{16^n}.

Passo 3

Vamos separar conforme a paridade de n:
  • Se n é ímpar, (-1)^n=-1, então 1+(-1)^n=0 e a_n=0.
  • Se n é par, digamos n=2k, então (-1)^{2k}=1, logo
a_{2k} = \frac{1+1}{16^{2k}} = \frac{2}{16^{2k}} = \frac{2}{(16^2)^k} = \frac{2}{256^k}.
Assim a série original reduz-se a
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{256^k}.

Passo 4

A série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{256^k}
é uma série geométrica de primeiro termo 2/256 e razão 1/256, que converge porque \lvert1/256\rvert<1. O valor da soma é
\frac{2/256}{1 - 1/256} = \frac{\tfrac{2}{256}}{\tfrac{255}{256}} = \frac{2}{255}.

Resposta

A série converge absolutamente e seu valor é \displaystyle \frac{2}{255}.

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