Enuncie e demonstre o Teorema de Sanduíche para sequências.
Passo 1
O enunciado pede para apresentarmos e demonstrarmos o Teorema de Sanduíche para sequências. O conteúdo que vamos usar é a definição de convergência de sequência pelo critério
–N e o raciocínio de “encapsular” uma sequência entre duas outras que convergem ao mesmo limite.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Sanduíche para sequências:
Suponha que ,
e
sejam sequências reais tais que, para todo
,
Suponha que
e que
Então
Passo 3
Demonstração: escolha um
arbitrário. Como
, existe
tal que, se
, então
Analogamente, como
, existe
tal que, se
, então
Passo 4
Seja
. Para todo
temos simultaneamente
Dessa desigualdade encadeada segue imediatamente que
Como isso vale para todo
, concluímos que
.
Resposta
Portanto, o Teorema de Sanduíche garante que, se
e
convergem para o mesmo limite
e
, então
.