Enuncie e demonstre o Teorema de Sanduíche para sequências.

Passo 1

O enunciado pede para apresentarmos e demonstrarmos o Teorema de Sanduíche para sequências. O conteúdo que vamos usar é a definição de convergência de sequência pelo critério \epsilon–N e o raciocínio de “encapsular” uma sequência entre duas outras que convergem ao mesmo limite.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Sanduíche para sequências:
Suponha que (a_n), (b_n) e (c_n) sejam sequências reais tais que, para todo n,
a_n \le b_n \le c_n,
e que
\lim_{n\to\infty}a_n = L \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}c_n = L.
Então
\lim_{n\to\infty}b_n = L.

Passo 3

Demonstração: escolha um \varepsilon>0 arbitrário. Como \lim_{n\to\infty}a_n=L, existe N_1\in\mathbb{N} tal que, se n\ge N_1, então
|a_n - L| < \varepsilon.
Analogamente, como \lim_{n\to\infty}c_n=L, existe N_2\in\mathbb{N} tal que, se n\ge N_2, então
|c_n - L| < \varepsilon.

Passo 4

Seja N = \max\{N_1,N_2\}. Para todo n\ge N temos simultaneamente
-\varepsilon < a_n - L \le b_n - L \le c_n - L < \varepsilon.
Dessa desigualdade encadeada segue imediatamente que
|b_n - L| < \varepsilon.
Como isso vale para todo \varepsilon>0, concluímos que \lim_{n\to\infty}b_n = L.

Resposta

Portanto, o Teorema de Sanduíche garante que, se (a_n) e (c_n) convergem para o mesmo limite L e \,a_n\le b_n\le c_n, então \lim_{n\to\infty}b_n=L.

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