Use o Teorema da Divergência de Gauss para calcular o fluxo \iint F \cdot N d S do campo \mathbf{F}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})= x^{3} \boldsymbol{i}+y^{3} \mathbf{j}+z^{3} \mathbf{k} através da superfície fechada e orientada para fora composta pelo plano z=0 e o hemisfério z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S} \mathbf{F}\cdot \mathbf{N}\,dS
do campo \mathbf{F}(x,y,z) = x^{3}\,\mathbf{i} + y^{3}\,\mathbf{j} + z^{3}\,\mathbf{k}
através da superfície fechada S formada pelo disco z=0 e pelo hemisfério z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}, com orientação para fora.
O conteúdo a usar é o Teorema da Divergência de Gauss, que diz
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS \;=\;\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV,
onde V é o volume limitado por S.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}) +\frac{\partial}{\partial y}(y^{3}) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{3}) =3x^{2}+3y^{2}+3z^{2} =3\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS =\iiint_{V}3\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dV.
O volume V é o semibol de raio a. Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) com r\ge0, \theta\in[0,2\pi], \varphi\in[0,\pi/2], temos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}, \quad dV=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Substituindo em coordenadas esféricas, o fluxo vira
\iiint_{V}3\,r^{2}\,dV =3\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\!\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\!\!\int_{r=0}^{a} r^{2}\,(r^{2}\sin\varphi)\,dr\,d\varphi\,d\theta =3\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi\;\int_{0}^{a}r^{4}\,dr.

Passo 5

Calculamos cada integral:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi, \quad \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi = 1, \quad \int_{0}^{a}r^{4}\,dr = \frac{a^{5}}{5}.
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\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS =3\;\bigl(2\pi\bigr)\;(1)\;\frac{a^{5}}{5} =\frac{6\pi\,a^{5}}{5}.

Resposta

\frac{6\pi\,a^{5}}{5}.

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