2 Determine os quatro primeiros termos de cada sequência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista: x_{n}=(-1)^{n+1} e^{n}
Passo 1
O enunciado define a sequência
x_{n} = (-1)^{n+1} e^{n}
e pede: (a) os quatro primeiros termos, (b) analisar se converge e (c) encontrar o limite, se existir. O conteúdo usado aqui é definição de sequência, alternância de sinal e crescimento exponencial.
Passo 2
Vamos calcular x_{n} para n=1,2,3,4.
Para n=1:
(-1)^{1+1} = (-1)^{2} = +1,\quad e^{1}=e,
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x_{1}=+e.
Para n=2:
(-1)^{2+1}=(-1)^{3}=-1,\quad e^{2}=e^{2},
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x_{2}=-e^{2}.
Para n=3:
(-1)^{3+1}=(-1)^{4}=+1,\quad e^{3}=e^{3},
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x_{3}=+e^{3}.
Para n=4:
(-1)^{4+1}=(-1)^{5}=-1,\quad e^{4}=e^{4},
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x_{4}=-e^{4}.
Passo 3
Para estudar a convergência, observamos o módulo dos termos:
|x_{n}| = \bigl|(-1)^{n+1}e^{n}\bigr| = e^{n}.
Como e^{n}\to +\infty quando n\to\infty, os termos crescem sem limite de valor absoluto. Mesmo alternando o sinal, não há “estabilização” num único número.