XVIII. Critério de comparação no limite: Sejam \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} duas séries de termos positivos e seja L=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}.
a) Se L>0, então as séries \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} são ambas convergentes ou ambas divergentes.
b) Se L=0 e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} converge, então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} também converge.

Passo 1

O enunciado pede demonstrar o Comparação no limite para duas séries de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}a_n e \sum_{n=1}^{\infty}b_n, onde
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
Vamos usar a definição de limite de sequência e o Critério de comparação direta para séries.

Passo 2

Prova de (a): suponha 0<L<+\infty. Pela definição de limite, existe N tal que para todo n>N vale
\Bigl|\frac{a_n}{b_n}-L\Bigr|<\frac{L}{2}.
Isso implica
\frac{L}{2}<\frac{a_n}{b_n}<\frac{3L}{2},
ou seja, para n>N achamos constantes positivas
c_1=\frac{L}{2},\quad c_2=\frac{3L}{2}
tal que
c_1\,b_n \;\le\;a_n\;\le\;c_2\,b_n.
Pelo Critério de comparação direta, concluímos:
  • Se \sum b_n converge, então \sum a_n converge.
  • Se \sum b_n diverge, então \sum a_n diverge.
    Além disso, como \lim b_n/a_n=1/L>0, o raciocínio vale trocando a_n por b_n. Logo \sum a_n e \sum b_n são simultaneamente convergentes ou divergentes.

Passo 3

Prova de (b): suponha L=0 e que \sum b_n converge. Da definição de limite, para \varepsilon=1 existe N tal que, para todo n>N,
\frac{a_n}{b_n}<1 \quad\Longrightarrow\quad a_n<b_n.
Assim, para n>N aplicamos o Critério de comparação direta e obtemos que a parte “tail” \sum_{n>N}a_n converge porque \sum_{n>N}b_n converge. Como um número finito de termos iniciais não afeta a convergência, concluímos que \sum a_n converge.

Resposta

Os itens (a) e (b) estão demonstrados conforme o critério de comparação no limite para séries de termos positivos.

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