XXIII.
Analise a convergência das seguintes séries através do teste da raiz ou do teste da integral.
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!},

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{n!}
usando o teste da raiz. Vamos chamar de a_n o termo geral e verificar se
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}
é menor que 1.

Passo 2

Defina
a_n = \frac{n+1}{n!}.
Então
\sqrt[n]{a_n} = \frac{(n+1)^{1/n}}{(n!)^{1/n}}.

Passo 3

Para avaliar o comportamento de (n!)^{1/n} usamos a forma assintótica de Stirling ou o fato clássico
(n!)^{1/n}\sim \frac{n}{e} \quad\text{quando }n\to\infty.
Assim
\frac{1}{(n!)^{1/n}}\sim \frac{e}{n},
enquanto
(n+1)^{1/n}\to 1 \quad\text{quando }n\to\infty.
Logo
\sqrt[n]{a_n} \sim \frac{1\cdot e}{n} \to 0.

Passo 4

Como
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=0<1,
pelo teste da raiz a série converge absolutamente.

Resposta

A série \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{n!} converge absolutamente.

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