XXI.
Verifique a convergência das seguintes séries
\sum \frac{2^{n+1}}{n^{2}}\,

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{n^{2}}.
O conteúdo envolvido é o teste de convergência para séries de termos positivos, e vamos usar o teste da razão de d’Alembert.

Passo 2

Defina a_{n} = \frac{2^{n+1}}{n^{2}}. Calculamos a razão entre termos consecutivos e seu limite:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{2^{(n+1)+1}}{(n+1)^{2}}\;\bigg/\;\frac{2^{n+1}}{n^{2}} = 2\;\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}.
Como
\lim_{n\to\infty} 2\;\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} = 2 > 1,
o teste da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série é divergente, pois pelo teste da razão obtemos limite igual a 2>1.

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