XX. 3 Seja a sequência definida pela recorrência \left\{\begin{array}{l}x_{0}=1 \\\ x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}+3}{2 x_{n}}\end{array}\right.. Sabendo que ela converge para valor positivo, encontre o seu limite.

Passo 1

Temos a sequência \{x_n\} dada por
x_{0}=1, \quad x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}+3}{2x_{n}},
e sabemos que ela converge para um valor positivo. O conteúdo é estudo de limite de recorrência, usando o conceito de ponto-fixo de uma função.

Passo 2

Suponha que \lim_{n\to\infty}x_{n}=L>0. Como x_{n+1} e x_{n} têm o mesmo limite, podemos escrever
L=\frac{L^{2}+3}{2L}.

Passo 3

Multiplicando por 2L e reorganizando, obtém-se
2L^{2}=L^{2}+3 \quad\Longrightarrow\quad L^{2}=3 \quad\Longrightarrow\quad L=\pm\sqrt{3}.
Como procuramos o limite positivo, ficamos com
L=\sqrt{3}.

Resposta

\sqrt{3}

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