Determine as quatros equações da reta a partir das seguintes informações:
x-42=y+12=z-1-1

Passo 1

O enunciado dá a forma contínua da reta em R^3:
x-42=y+12=z-1-1,
e pede quatro representações clássicas de uma reta: a equação vetorial, as equações paramétricas, a forma contínua (já dada) e a forma implícita como interseção de dois planos.

Passo 2

Para escrever a equação vetorial, identificamos um ponto P0 da reta e um vetor direção v. Da forma contínua vemos que
P0 = (4,,-1,,1), v = (2,,2,,-1)
Logo a equação vetorial é
r = (4,,-1,,1) + t,(2,,2,,-1), tinR

Passo 3

Para chegar às equações paramétricas, basta igualar cada coordenada:
x = 4 + 2t, y = -1 + 2t, z = 1 - t

Passo 4

A forma contínua (ou simétrica) já nos foi dada:
x-42 = y+12 = z-1-1

Passo 5

Na forma implícita, a reta aparece como interseção de dois planos cujos normais são ortogonais ao vetor direção (2,2,-1).
Escolhemos, por exemplo,
n1=(1,-1,0) e n2=(1,0,2), pois
n1cdotv=2-2+0=0, n2cdotv=2+0-2=0
Cada plano passa por P0=(4,-1,1), então:
n1cdotl((x,y,z)-(4,-1,1)r)=0 ;Longrightarrow; x - y -5 = 0,
n2cdotl((x,y,z)-(4,-1,1)r)=0 ;Longrightarrow; x + 2z -6 = 0

Resposta

(1) Equação vetorial:
r = (4,,-1,,1) + t,(2,,2,,-1), tinR
(2) Equações paramétricas:
x = 4 + 2t, y = -1 + 2t, z = 1 - t
(3) Forma contínua:
x-42 = y+12 = z-1-1
(4) Forma implícita (interseção de planos):
x - y -5 = 0, x + 2z -6 = 0

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