Determine os quatros tipos de equação da reta usando as informações abaixo.
A reta r passa pelo ponto A=(2,1,3) e paralelo ao vetor v=(2,-1,1).

Passo 1

O enunciado dá um ponto A=(2,1,3) e um vetor direção v=(2,-1,1) e pede as quatro formas de representar a reta r em R^3. O conteúdo abordado é equações de reta no espaço usando forma vetorial, paramétrica, simétrica e cartesiana.

Passo 2

A forma vetorial (ou ponto–direção) da reta r usa o ponto A e o vetor v. Em seguida, extraímos a forma paramétrica em cada coordenada.
A forma vetorial é
r(t) = (2,1,3) + t,(2,-1,1), tinR
A forma paramétrica em componentes é
x = 2 + 2t, y = 1 - t, z = 3 + t

Passo 3

Para chegar à forma simétrica, isolamos o parâmetro t em cada uma das equações paramétricas:
x - 22 = y - 1-1 = z - 31

Passo 4

Para obter a forma cartesiana, eliminamos o parâmetro transformando a igualdade das frações em um sistema de duas equações lineares. A partir de
tfracx-22 = tfracy-1-1 e tfracx-22 = tfracz-31, temos:
x + 2y - 4 = 0,
x - 2z + 4 = 0

Resposta

  1. Forma vetorial:
r(t) = (2,1,3) + t,(2,-1,1), tinR
  1. Forma paramétrica:
x = 2 + 2t, y = 1 - t, z = 3 + t, tinR
  1. Forma simétrica:
x - 22 = y - 1-1 = z - 31
  1. Forma cartesiana:
x + 2y - 4 = 0, x - 2z + 4 = 0

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