Determine os quatros tipos de equação da reta usando as informações abaixo.
A reta t passa pelo ponto A=(1,0,-3) e paralelo ao vetor v=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as quatro formas de representar uma reta em R^3 sabendo que ela passa por A=(1,0,-3) e tem direção dada por vec v=(1,1,1). O conteúdo é Geometria Analítica no espaço, e vamos usar: equação vetorial, paramétrica, contínua (simétrica) e geral (interseção de planos).

Passo 2

A equação vetorial da reta parte da fórmula
vec r = vec r0 + t,vec v
onde vec r0 é um ponto da reta e vec v o vetor direção. Substituindo vec r0=(1,0,-3) e vec v=(1,1,1) obtemos
vec r = (1,0,-3) + t,(1,1,1), tinR

Passo 3

Para a forma paramétrica, escrevemos as componentes de vec r=(x,y,z) em função de t. Da equação vetorial vêm
x = 1 + t, y = 0 + t = t, z = -3 + t

Passo 4

Na forma contínua (ou simétrica) isolamos t em cada equação paramétrica:
x-11 = y-01 = z+31

Passo 5

Para a forma geral em R^3, representamos a reta como interseção de dois planos cujos vetores normais sejam ortogonais a vec v. Escolhendo
vec n1=(1,-1,0) e vec n2=(0,1,-1) (pois vec n1cdotvec v=0 e vec n2cdotvec v=0), as equações dos planos que passam por A são
(x-1)-(y-0)=0
(y-0)-(z+3)=0
ou mais simplesmente
x - y - 1 = 0, y - z - 3 = 0

Resposta

Equações da reta t em R^3 que passa por A=(1,0,-3) e é paralela a vec v=(1,1,1):
(1) Vetorial:
vec r = (1,0,-3) + t,(1,1,1), tinR
(2) Paramétrica:
x = 1 + t, y = t, z = -3 + t
(3) Contínua (simétrica):
x-11 = y1 = z+31
(4) Geral (interseção de planos):
x - y - 1 = 0, y - z - 3 = 0

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