Determine, nas questões abaixo, qual a região onde a função é contínua. Justifique a resposta.
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{\sin (x y)} & \text { caso }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { caso } x=y=0\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{xy}{\sin(xy)}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O que pedem: determinar em que região do plano \mathbb{R}^2 a função é contínua e justificar. Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Para (x,y)\neq(0,0) a expressão é \dfrac{xy}{\sin(xy)}.
  • Em (0,0) o valor foi definido como 0.
  • Note que \sin(t)=0 quando t=k\pi com k\in\mathbb{Z}; portanto \sin(xy)=0 sempre que xy\in\pi\mathbb{Z}.]

Passo 2

Primeiro vamos identificar o domínio efetivo da função (onde f está definida). A expressão \dfrac{xy}{\sin(xy)} não faz sentido quando \sin(xy)=0. Assim o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\sin(xy)\neq0\}\,\cup\{(0,0)\}.
Equivalentemente podemos dizer que D=\{(x,y):xy\notin\pi\mathbb{Z}\}\cup\{(0,0)\}. Em particular, pontos com xy=k\pi e (x,y)\neq(0,0) não pertencem ao domínio (a função não está definida aí).

Passo 3

Agora verifico continuidade nos pontos do domínio onde \sin(xy)\neq0. Considere um ponto (x_0,y_0) tal que \sin(x_0y_0)\neq0. As funções (x,y)\mapsto xy e (x,y)\mapsto \sin(xy) são contínuas no plano; como \sin(x_0y_0)\neq0, o denominador não se anula numa vizinhança de (x_0,y_0). Logo a razão
(x,y)\mapsto \frac{xy}{\sin(xy)}
é quociente de funções contínuas com denominador não-nulo nessa vizinhança, portanto é contínua em (x_0,y_0). Conclusão: f é contínua em todo ponto do domínio que satisfaz \sin(xy)\neq0.

Passo 4

Pontos com \sin(xy)=0 e (x,y)\neq(0,0) não pertencem ao domínio, portanto não podemos falar em continuidade nesses pontos — a função simplesmente não está definida ali. Esses pontos formam as curvas xy=k\pi (com k\in\mathbb{Z}) excluindo a origem.

Passo 5

Falta analisar a continuidade em (0,0), ponto onde a função foi explicitamente definida como f(0,0)=0. Precisamos calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0),\,(x,y)\in D\setminus\{(0,0)\}}\frac{xy}{\sin(xy)}.
Coloco t=xy. Primeiro justifico que t\to0 quando (x,y)\to(0,0): de fato
|t|=|xy|\le\frac{x^2+y^2}{2},
então se (x,y)\to(0,0) temos x^2+y^2\to0 e portanto t\to0. Agora uso o limite conhecido de uma variável
\lim_{u\to0}\frac{u}{\sin u}=1,
que vale porque \sin u\sim u quando u\to0. Aplicando com u=t=xy obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sin(xy)}=\lim_{t\to0}\frac{t}{\sin t}=1.
Esse cálculo é válido tomando apenas pontos do domínio (ou seja, pontos com \sin(xy)\neq0) arbitrariamente próximos da origem. Portanto o limite da função quando nos aproximamos de (0,0) é 1.

Passo 6

Comparo o limite com o valor da função no ponto: f(0,0)=0 mas \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=1. Como os dois não coincidem, f é descontínua em (0,0).

Resposta

f é contínua em \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\sin(xy)\neq0\} (equivalente a \{(x,y):xy\notin\pi\mathbb{Z}\}) e é descontínua em (0,0). Pontos com xy=k\pi e (x,y)\neq(0,0) não pertencem ao domínio (a função não está definida aí).

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