O que pedem: determinar em que região do plano \mathbb{R}^2 a função é contínua e justificar. Informações relevantes que temos do enunciado:
Para (x,y)\neq(0,0) a expressão é \dfrac{xy}{\sin(xy)}.
Em (0,0) o valor foi definido como 0.
Note que \sin(t)=0 quando t=k\pi com k\in\mathbb{Z}; portanto \sin(xy)=0 sempre que xy\in\pi\mathbb{Z}.]
Passo 2
Primeiro vamos identificar o domínio efetivo da função (onde f está definida). A expressão \dfrac{xy}{\sin(xy)} não faz sentido quando \sin(xy)=0. Assim o domínio é
Equivalentemente podemos dizer que D=\{(x,y):xy\notin\pi\mathbb{Z}\}\cup\{(0,0)\}. Em particular, pontos com xy=k\pi e (x,y)\neq(0,0) não pertencem ao domínio (a função não está definida aí).
Passo 3
Agora verifico continuidade nos pontos do domínio onde \sin(xy)\neq0. Considere um ponto (x_0,y_0) tal que \sin(x_0y_0)\neq0. As funções (x,y)\mapsto xy e (x,y)\mapsto \sin(xy) são contínuas no plano; como \sin(x_0y_0)\neq0, o denominador não se anula numa vizinhança de (x_0,y_0). Logo a razão
(x,y)\mapsto \frac{xy}{\sin(xy)}
é quociente de funções contínuas com denominador não-nulo nessa vizinhança, portanto é contínua em (x_0,y_0). Conclusão: f é contínua em todo ponto do domínio que satisfaz \sin(xy)\neq0.
Passo 4
Pontos com \sin(xy)=0 e (x,y)\neq(0,0) não pertencem ao domínio, portanto não podemos falar em continuidade nesses pontos — a função simplesmente não está definida ali. Esses pontos formam as curvas xy=k\pi (com k\in\mathbb{Z}) excluindo a origem.
Passo 5
Falta analisar a continuidade em (0,0), ponto onde a função foi explicitamente definida como f(0,0)=0. Precisamos calcular
Esse cálculo é válido tomando apenas pontos do domínio (ou seja, pontos com \sin(xy)\neq0) arbitrariamente próximos da origem. Portanto o limite da função quando nos aproximamos de (0,0) é 1.
Passo 6
Comparo o limite com o valor da função no ponto: f(0,0)=0 mas \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=1. Como os dois não coincidem, f é descontínua em (0,0).
Resposta
f é contínua em \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\sin(xy)\neq0\} (equivalente a \{(x,y):xy\notin\pi\mathbb{Z}\}) e é descontínua em (0,0). Pontos com xy=k\pi e (x,y)\neq(0,0) não pertencem ao domínio (a função não está definida aí).