Determine o quociente e o resto de cada uma das divisões de f por
:
e
Passo 1
O enunciado pede que se determine o quociente e o resto da divisão de um polinômio
por outro polinômio
. Dados fornecidos:
-
. -
.
As perguntas são:
- Qual é o quociente
tal que ? - Qual é o resto
(que, como é de grau 1, é uma constante)?
Passo 2
Lembrete importante (teorema do resto e algoritmo da divisão):
- Para quaisquer polinômios
e com , existem únicos polinômios e tais que
com
. No caso de
(grau 1), o resto
é uma constante e o Teorema do Resto diz que
- Para encontrar o quociente quando
é muito prático usar a divisão sintética (ou esquema de Horner), que opera sobre os coeficientes de e o valor . Vou explicar e aplicar esse procedimento passo a passo.
Passo 3
Aplicando o Teorema do Resto para achar o resto imediatamente: como
, temos
. Então
Observação útil:
. Portanto
Logo o resto é
.
Passo 4
Agora vou achar o quociente usando divisão sintética (esquema de Horner). Explico o método antes de aplicar:
- Pegam-se os coeficientes de
em ordem decrescente de potência. Se faltar alguma potência, coloca-se coeficiente zero. - Escreve-se à esquerda o número
(aqui ) e procede-se por iterações: desce-se o primeiro coeficiente como primeiro coeficiente do quociente; multiplica-se esse coeficiente por e soma-se ao próximo coeficiente de ; o resultado é o próximo coeficiente do quociente; repete-se até o fim; o último valor obtido é o resto.
Coeficientes de
: há termos ausentes para
, então os coeficientes são
Vou aplicar o esquema com
. Denotando por
os números produzidos pelo processo:
- Começo descendo o primeiro coeficiente:
- Multiplico por
e somo ao próximo coeficiente de :
- Repito:
Pelo procedimento, os coeficientes
são os coeficientes do quociente (grau 4) e
é o resto. Confirmando coerência com o Teorema do Resto, obtivemos
como antes.
Passo 5
Escrevendo o quociente a partir dos coeficientes
:
Substituindo os valores:
Podemos, se quiser, verificar rapidamente que os graus e o resto batem:
e o resto é constante
, e
.
Resposta
Quociente:
Resto:
Resto: