Determine o quociente e o resto de cada uma das divisões de f por g :
f=x^{5}+243 e g=x-3

Passo 1

O enunciado pede que se determine o quociente e o resto da divisão de um polinômio f por outro polinômio g. Dados fornecidos:
  • f(x)=x^{5}+243.
  • g(x)=x-3.
As perguntas são:
  • Qual é o quociente q(x) tal que f(x)=g(x)\,q(x)+r?
  • Qual é o resto r (que, como g é de grau 1, é uma constante)?

Passo 2

Lembrete importante (teorema do resto e algoritmo da divisão):
  • Para quaisquer polinômios f(x) e g(x)\neq 0 com \deg g = m, existem únicos polinômios q(x) e r(x) tais que
f(x)=g(x)\,q(x)+r(x),
com \deg r < m. No caso de g(x)=x-a (grau 1), o resto r é uma constante e o Teorema do Resto diz que
r=f(a).
  • Para encontrar o quociente quando g(x)=x-a é muito prático usar a divisão sintética (ou esquema de Horner), que opera sobre os coeficientes de f e o valor a. Vou explicar e aplicar esse procedimento passo a passo.

Passo 3

Aplicando o Teorema do Resto para achar o resto imediatamente: como g(x)=x-3, temos a=3. Então
r=f(3)=3^{5}+243.
Observação útil: 3^{5}=243. Portanto
f(3)=243+243=486.
Logo o resto é r=486.

Passo 4

Agora vou achar o quociente usando divisão sintética (esquema de Horner). Explico o método antes de aplicar:
  • Pegam-se os coeficientes de f(x) em ordem decrescente de potência. Se faltar alguma potência, coloca-se coeficiente zero.
  • Escreve-se à esquerda o número a (aqui a=3) e procede-se por iterações: desce-se o primeiro coeficiente como primeiro coeficiente do quociente; multiplica-se esse coeficiente por a e soma-se ao próximo coeficiente de f; o resultado é o próximo coeficiente do quociente; repete-se até o fim; o último valor obtido é o resto.
Coeficientes de f(x)=x^{5}+243: há termos ausentes para x^4,x^3,x^2,x, então os coeficientes são
1,\;0,\;0,\;0,\;0,\;243.
Vou aplicar o esquema com a=3. Denotando por b_0,b_1,\dots,b_5 os números produzidos pelo processo:
  • Começo descendo o primeiro coeficiente:
b_0 = 1.
  • Multiplico por 3 e somo ao próximo coeficiente de f:
b_1 = 0 + 3\cdot b_0 = 0 + 3\cdot 1 = 3.
  • Repito:
b_2 = 0 + 3\cdot b_1 = 0 + 3\cdot 3 = 9,
b_3 = 0 + 3\cdot b_2 = 0 + 3\cdot 9 = 27,
b_4 = 0 + 3\cdot b_3 = 0 + 3\cdot 27 = 81,
b_5 = 243 + 3\cdot b_4 = 243 + 3\cdot 81 = 243 + 243 = 486.
Pelo procedimento, os coeficientes b_0,b_1,b_2,b_3,b_4 são os coeficientes do quociente (grau 4) e b_5 é o resto. Confirmando coerência com o Teorema do Resto, obtivemos b_5=486 como antes.

Passo 5

Escrevendo o quociente a partir dos coeficientes b_0,\dots,b_4:
q(x)=b_0 x^{4} + b_1 x^{3} + b_2 x^{2} + b_3 x + b_4.
Substituindo os valores:
q(x)=1\cdot x^{4} + 3\cdot x^{3} + 9\cdot x^{2} + 27\cdot x + 81.
Podemos, se quiser, verificar rapidamente que os graus e o resto batem: \deg q=4 e o resto é constante 486, e f(x)=(x-3)q(x)+486.

Resposta

Quociente: x^{4}+3x^{3}+9x^{2}+27x+81
Resto: 486

Exercícios relacionados