Determine o quociente e o resto de cada uma das divisões de f por
:
e
Passo 1
O enunciado pede que se determine o quociente e o resto da divisão do polinômio
pelo polinômio
. Dados fornecidos:
-
. -
.
Perguntas a responder:
- Qual é o quociente da divisão de
por ? - Qual é o resto dessa divisão?
Passo 2
Vamos lembrar duas ferramentas muito úteis (explicadas de forma simples).
Remainder Theorem (Teorema do Resto):
Aqui o divisor é
, que é da forma
com
. Logo o resto da divisão será
. Isso nos dá um modo rápido de encontrar o resto sem fazer toda a divisão.
Divisão sintética (método prático):
- Quando dividimos por
, podemos usar a divisão sintética com o número . - Para isso escrevemos os coeficientes de
(incluindo zeros para termos ausentes) e realizamos operações simples de multiplicar e somar para obter os coeficientes do quociente e o resto.
Vou usar ambos: primeiro o Teorema do Resto para o resto, depois a divisão sintética para obter o quociente explicitamente.
Passo 3
Calcular o resto pelo Teorema do Resto avaliando
em
.
Portanto o resto é
. Isso já nos diz que
divide
exatamente (ou seja, o polinômio é divisível por
).
Passo 4
Agora vamos obter o quociente através da divisão sintética. Primeiro escrevemos os coeficientes de
. Como
, os coeficientes são:
Usamos
(pois o divisor é
).
Montagem da divisão sintética e cálculos passo a passo:
- Traga o primeiro coeficiente para baixo:
. - Multiplique
por : . Some ao próximo coeficiente : . - Multiplique
por : . Some ao próximo coeficiente : . - Multiplique
por : . Some ao próximo coeficiente : . - Multiplique
por : . Some ao último coeficiente : .
Escrevendo em forma de linha (coeficientes do quociente e resto):
Os números na última linha, exceto o último, são os coeficientes do quociente; o último número é o resto.
Logo os coeficientes do quociente são
, correspondendo ao polinômio
Passo 5
Podemos também verificar rapidamente pelo fatoramento de
. Observando que
é uma diferença de quadrados:
E
é outra diferença de quadrados:
Portanto
Agrupando os fatores que permanecem depois de tirar
, o quociente é
Expandindo para confirmar:
que coincide com o resultado da divisão sintética. E o resto encontrado antes é
, consistente com a divisibilidade.
Resposta
Quociente:
Resto:
Resto: