Determine o quociente e o resto de cada uma das divisões de f por g :
f=x^{4}-81 e g=x+3

Passo 1

O enunciado pede que se determine o quociente e o resto da divisão do polinômio f pelo polinômio g. Dados fornecidos:
  • f=x^{4}-81.
  • g=x+3.
Perguntas a responder:
  • Qual é o quociente da divisão de f por g?
  • Qual é o resto dessa divisão?

Passo 2

Vamos lembrar duas ferramentas muito úteis (explicadas de forma simples).
Remainder Theorem (Teorema do Resto):
\text{Se um polinômio }f(x)\text{ é dividido por }(x-a),\text{ então o resto é }f(a).ôéãé
Aqui o divisor é x+3, que é da forma x-a com a=-3. Logo o resto da divisão será f(-3). Isso nos dá um modo rápido de encontrar o resto sem fazer toda a divisão.
Divisão sintética (método prático):
  • Quando dividimos por x-a, podemos usar a divisão sintética com o número a.
  • Para isso escrevemos os coeficientes de f (incluindo zeros para termos ausentes) e realizamos operações simples de multiplicar e somar para obter os coeficientes do quociente e o resto.
    Vou usar ambos: primeiro o Teorema do Resto para o resto, depois a divisão sintética para obter o quociente explicitamente.

Passo 3

Calcular o resto pelo Teorema do Resto avaliando f em a=-3.
f(-3)=(-3)^{4}-81
(-3)^{4}=81
f(-3)=81-81=0
Portanto o resto é 0. Isso já nos diz que x+3 divide f exatamente (ou seja, o polinômio é divisível por x+3).

Passo 4

Agora vamos obter o quociente através da divisão sintética. Primeiro escrevemos os coeficientes de f. Como f=x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+0x-81, os coeficientes são:
1,\;0,\;0,\;0,\;-81
Usamos a=-3 (pois o divisor é x+3).
Montagem da divisão sintética e cálculos passo a passo:
  • Traga o primeiro coeficiente para baixo: 1.
  • Multiplique 1 por -3: -3. Some ao próximo coeficiente 0: 0+(-3)=-3.
  • Multiplique -3 por -3: 9. Some ao próximo coeficiente 0: 0+9=9.
  • Multiplique 9 por -3: -27. Some ao próximo coeficiente 0: 0+(-27)=-27.
  • Multiplique -27 por -3: 81. Some ao último coeficiente -81: -81+81=0.
Escrevendo em forma de linha (coeficientes do quociente e resto):
\begin{array}{c|rrrrr} -3 & 1 & 0 & 0 & 0 & -81\\hline & & -3 & 9 & -27 & 81\\\ & 1 & -3 & 9 & -27 & 0 \end{array}
Os números na última linha, exceto o último, são os coeficientes do quociente; o último número é o resto.
Logo os coeficientes do quociente são 1,\\\ -3,\\\ 9,\\\ -27, correspondendo ao polinômio
x^{3}-3x^{2}+9x-27.

Passo 5

Podemos também verificar rapidamente pelo fatoramento de f. Observando que f é uma diferença de quadrados:
f=x^{4}-81=(x^{2})^{2}-9^{2}=(x^{2}-9)(x^{2}+9).
E x^{2}-9 é outra diferença de quadrados:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Portanto
f=(x+3)(x-3)(x^{2}+9).
Agrupando os fatores que permanecem depois de tirar (x+3), o quociente é
(x-3)(x^{2}+9).
Expandindo para confirmar:
(x-3)(x^{2}+9)=x^{3}-3x^{2}+9x-27,
que coincide com o resultado da divisão sintética. E o resto encontrado antes é 0, consistente com a divisibilidade.

Resposta

Quociente: x^{3}-3x^{2}+9x-27
Resto: 0

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