Resolva as equações:
3 x^{6}-8 x^{5}+3 x^{4}+2 x^{3}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação polinomial
3x^{6}-8x^{5}+3x^{4}+2x^{3}=0.
O que é pedido: encontrar todas as soluções (raízes) x que satisfazem essa equação.
Informações dadas importantes: os coeficientes do polinômio são 3,-8,3,2 nos termos de grau 6,5,4,3 respectivamente, e não há termos de grau menor que 3.

Passo 2

Primeira ideia prática: procurar fatores comuns em todos os termos. Sempre que todos os termos de um polinômio têm um fator em comum, dá para fatorar esse fator e simplificar a resolução. Aqui todos os termos têm um fator x^{3} em comum (porque os menores expoentes entre os termos são x^{3}). Então fatoramos:
3x^{6}-8x^{5}+3x^{4}+2x^{3}=x^{3}\bigl(3x^{3}-8x^{2}+3x+2\bigr).
Explicação rápida: ao fatorar x^{3}, cada termo perde três na potência de x: x^{6}=x^{3}\cdot x^{3}, x^{5}=x^{3}\cdot x^{2}, etc.

Passo 3

Agora usamos a propriedade do produto nulo: se AB=0 então A=0 ou B=0. Aplicando em
x^{3}\bigl(3x^{3}-8x^{2}+3x+2\bigr)=0,
temos duas possibilidades:
  1. x^{3}=0. Isso implica
x=0.
Como é x^{3}=0, a raiz x=0 tem multiplicidade 3 (significa que x=0 é raiz repetida três vezes).
  1. 3x^{3}-8x^{2}+3x+2=0. Precisamos resolver esse polinômio cúbico.

Passo 4

Para o cúbico 3x^{3}-8x^{2}+3x+2=0 uma técnica eficiente é testar raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais: quaisquer raízes racionais \dfrac{p}{q} têm p dividindo o termo constante e q dividindo o coeficiente líder. Aqui o termo constante é 2 (divisores \pm1,\pm2) e o coeficiente líder é 3 (divisores \pm1,\pm3). Logo candidatos:
\pm1,\\ \pm2,\\ \pm\frac{1}{3},\\ \pm\frac{2}{3}.
Testamos x=1 (o mais óbvio): calculemos
3(1)^{3}-8(1)^{2}+3(1)+2=3-8+3+2=0.
Portanto x=1 é uma raiz do cúbico.

Passo 5

Como x=1 é raiz, podemos dividir o polinômio cúbico por (x-1) para obter um quadrático. Faço a divisão sintética (coeficientes 3,\,-8,\;3,\;2) com 1:
\begin{array}{r|rrrr} 1 & 3 & -8 & 3 & 2\\hline & & 3 & -5 & -2\\\ \hline & 3 & -5 & -2 & 0 \end{array}
Interpretação dos passos do quadro: desci 3, multipliquei por 1 obtendo 3, somei com -8 dando -5, multipliquei -5 por 1 dando -5, somei com 3 dando -2, multipliquei -2 por 1 dando -2, somei com 2 dando 0 (resto). Logo o quociente é o polinômio quadrático
3x^{2}-5x-2.

Passo 6

Agora resolvemos o quadrático
3x^{2}-5x-2=0.
Vou usar a fórmula quadrática. Para um quadrático geral ax^{2}+bx+c=0, as soluções são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b, c são os coeficientes do quadrático. Aqui a=3, b=-5, c=-2. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49.
Como \Delta=49 é um quadrado perfeito, teremos raízes racionais:
x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2\cdot3}=\frac{5\pm7}{6}.
Portanto as duas soluções são
x=\frac{5+7}{6}=\frac{12}{6}=2, \qquad x=\frac{5-7}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}.
Como verificável, o quadrático também pode ser fatorado como
3x^{2}-5x-2=(x-2)(3x+1).

Passo 7

Reunindo tudo: o polinômio original fatorou-se como
x^{3}(x-1)(x-2)(3x+1)=0.
Das parcelas obtemos as raízes:
  • x=0 com multiplicidade 3,
  • x=1,
  • x=2,
  • x=-\dfrac{1}{3}.
Como checagem rápida, todos são reais e ao substituir cada um na expressão original o resultado é zero (por construção).

Resposta

x=0 (multiplicidade 3)
x=1
x=2
x=-\dfrac{1}{3}

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