Resolva as equações:
Passo 1
O enunciado dá a equação polinomial
O que é pedido: encontrar todas as soluções (raízes)
que satisfazem essa equação.
Informações dadas importantes: os coeficientes do polinômio são nos termos de grau
respectivamente, e não há termos de grau menor que
.
Informações dadas importantes: os coeficientes do polinômio são
Passo 2
Primeira ideia prática: procurar fatores comuns em todos os termos. Sempre que todos os termos de um polinômio têm um fator em comum, dá para fatorar esse fator e simplificar a resolução. Aqui todos os termos têm um fator
em comum (porque os menores expoentes entre os termos são
). Então fatoramos:
Explicação rápida: ao fatorar
, cada termo perde três na potência de
:
,
, etc.
Passo 3
Agora usamos a propriedade do produto nulo: se
então
ou
. Aplicando em
temos duas possibilidades:
-
. Isso implica
Como é
, a raiz
tem multiplicidade
(significa que
é raiz repetida três vezes).
-
. Precisamos resolver esse polinômio cúbico.
Passo 4
Para o cúbico
uma técnica eficiente é testar raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais: quaisquer raízes racionais
têm
dividindo o termo constante e
dividindo o coeficiente líder. Aqui o termo constante é
(divisores
) e o coeficiente líder é
(divisores
). Logo candidatos:
Testamos
(o mais óbvio): calculemos
Portanto
é uma raiz do cúbico.
Passo 5
Como
é raiz, podemos dividir o polinômio cúbico por
para obter um quadrático. Faço a divisão sintética (coeficientes
) com
:
Interpretação dos passos do quadro: desci
, multipliquei por
obtendo
, somei com
dando
, multipliquei
por
dando
, somei com
dando
, multipliquei
por
dando
, somei com
dando
(resto). Logo o quociente é o polinômio quadrático
Passo 6
Agora resolvemos o quadrático
Vou usar a fórmula quadrática. Para um quadrático geral
, as soluções são
onde
,
,
são os coeficientes do quadrático. Aqui
,
,
. Calculamos o discriminante:
Como
é um quadrado perfeito, teremos raízes racionais:
Portanto as duas soluções são
Como verificável, o quadrático também pode ser fatorado como
Passo 7
Reunindo tudo: o polinômio original fatorou-se como
Das parcelas obtemos as raízes:
-
com multiplicidade , -
, -
, -
.
Como checagem rápida, todos são reais e ao substituir cada um na expressão original o resultado é zero (por construção).