Resolva as equações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Ou seja, encontrar todos os valores de
que tornam essa igualdade verdadeira. As informações dadas são os coeficientes do polinômio (todos os termos que aparecem na expressão à esquerda).
Passo 2
Primeiro passo prático: verificar se existe um fator comum em todos os termos, para simplificar a expressão. Os termos são
,
,
e
. Todos têm fator numérico
e fator em
pelo menos
. Então podemos fatorar:
Explicando: ao dividir cada termo por
obtemos
,
,
e
, que compõem o polinômio entre parênteses.
Passo 3
Usamos a propriedade do produto zero: se
então
ou
. Aplicando aqui:
implica que ou
Da primeira equação temos imediatamente
, logo
Esse zero tem multiplicidade
(porque veio de
); guardamos isso para a resposta final.
Passo 4
Agora tratamos o polinômio de grau 4:
Uma técnica prática é testar raízes racionais simples, típicas são
e
. Calculando
:
Como
, isso significa que
é um fator de
.
Passo 5
Vamos dividir
por
. Usa-se a divisão sintética (mais rápida) com os coeficientes de
:
(observe que o termo em
tem coeficiente
). Fazendo a divisão sintética por
:
Colocar os coeficientes:
Trazer o
(primeiro coeficiente) para baixo:
- Baixar
. - Multiplicar por
(raiz testada): . Somar ao próximo coeficiente: . - Multiplicar
por : . Somar ao próximo coeficiente: . - Multiplicar
por : . Somar ao próximo coeficiente: . - Multiplicar
por : . Somar ao último coeficiente: (resto zero, confirma divisão exata).
O quociente tem coeficientes
, ou seja o polinômio cúbico
Portanto
Passo 6
Fatoramos o cúbico
. Agrupando termos:
Colocando
em evidência:
E
é uma diferença de quadrados que se fatoriza como
. Assim
Passo 7
Substituindo de volta em
:
Logo a fatoração completa do polinômio original é
Passo 8
Aplicando novamente a propriedade do produto nulo, as raízes são os valores de
que anulam algum dos fatores:
-
dá (multiplicidade ); -
dá (multiplicidade ); -
dá (multiplicidade ).
Explicação sobre multiplicidade (rápida e intuitiva): se um fator
aparece na fatoração, diz-se que
é raiz de multiplicidade
. Em uma gráfica, raízes de multiplicidade ímpar cruzam o eixo
; multiplicidade par tocam e voltam.