Resolva as equações:
2 x^{6}-4 x^{5}+4 x^{3}-2 x^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
2x^{6}-4x^{5}+4x^{3}-2x^{2}=0.
Ou seja, encontrar todos os valores de x que tornam essa igualdade verdadeira. As informações dadas são os coeficientes do polinômio (todos os termos que aparecem na expressão à esquerda).

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar se existe um fator comum em todos os termos, para simplificar a expressão. Os termos são 2x^{6}, -4x^{5}, 4x^{3} e -2x^{2}. Todos têm fator numérico 2 e fator em x pelo menos x^{2}. Então podemos fatorar:
2x^{6}-4x^{5}+4x^{3}-2x^{2}=2x^{2}\bigl(x^{4}-2x^{3}+2x-1\bigr).
Explicando: ao dividir cada termo por 2x^{2} obtemos x^{4}, -2x^{3}, 2x e -1, que compõem o polinômio entre parênteses.

Passo 3

Usamos a propriedade do produto zero: se A\cdot B=0 então A=0 ou B=0. Aplicando aqui:
2x^{2}\bigl(x^{4}-2x^{3}+2x-1\bigr)=0
implica que ou
2x^{2}=0 \quad\text{ou}\quad x^{4}-2x^{3}+2x-1=0.
Da primeira equação temos imediatamente x^{2}=0, logo
x=0.
Esse zero tem multiplicidade 2 (porque veio de x^{2}); guardamos isso para a resposta final.

Passo 4

Agora tratamos o polinômio de grau 4:
p(x)=x^{4}-2x^{3}+2x-1.
Uma técnica prática é testar raízes racionais simples, típicas são x=1 e x=-1. Calculando p(1):
p(1)=1-2+2-1=0.
Como p(1)=0, isso significa que x-1 é um fator de p(x).

Passo 5

Vamos dividir p(x) por x-1. Usa-se a divisão sintética (mais rápida) com os coeficientes de p: 1,\,-2,\,0,\,2,\,-1 (observe que o termo em x^{2} tem coeficiente 0). Fazendo a divisão sintética por 1:
Colocar os coeficientes: 1\quad -2\quad 0\quad 2\quad -1
Trazer o 1 (primeiro coeficiente) para baixo:
  • Baixar 1.
  • Multiplicar por 1 (raiz testada): 1\cdot 1=1. Somar ao próximo coeficiente: -2+1=-1.
  • Multiplicar -1 por 1: -1. Somar ao próximo coeficiente: 0+(-1)=-1.
  • Multiplicar -1 por 1: -1. Somar ao próximo coeficiente: 2+(-1)=1.
  • Multiplicar 1 por 1: 1. Somar ao último coeficiente: -1+1=0 (resto zero, confirma divisão exata).
O quociente tem coeficientes 1,\,-1,\,-1,\,1, ou seja o polinômio cúbico
q(x)=x^{3}-x^{2}-x+1.
Portanto
p(x)=(x-1)\bigl(x^{3}-x^{2}-x+1\bigr).

Passo 6

Fatoramos o cúbico q(x)=x^{3}-x^{2}-x+1. Agrupando termos:
x^{3}-x^{2}-x+1 = (x^{3}-x^{2})+(-x+1) = x^{2}(x-1)-1(x-1).
Colocando x-1 em evidência:
x^{2}(x-1)-1(x-1)=(x^{2}-1)(x-1).
E x^{2}-1 é uma diferença de quadrados que se fatoriza como (x-1)(x+1). Assim
q(x)=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)^{2}(x+1).

Passo 7

Substituindo de volta em p(x):
p(x)=(x-1)\,q(x)=(x-1)\,(x-1)^{2}(x+1)=(x-1)^{3}(x+1).
Logo a fatoração completa do polinômio original é
2x^{6}-4x^{5}+4x^{3}-2x^{2}=2x^{2}(x-1)^{3}(x+1).

Passo 8

Aplicando novamente a propriedade do produto nulo, as raízes são os valores de x que anulam algum dos fatores:
  • 2x^{2}=0 x=0 (multiplicidade 2);
  • (x-1)^{3}=0 x=1 (multiplicidade 3);
  • (x+1)=0 x=-1 (multiplicidade 1).
Explicação sobre multiplicidade (rápida e intuitiva): se um fator (x-a)^{m} aparece na fatoração, diz-se que x=a é raiz de multiplicidade m. Em uma gráfica, raízes de multiplicidade ímpar cruzam o eixo x; multiplicidade par tocam e voltam.

Resposta

x=-1
x=0 (multiplicidade 2)
x=1 (multiplicidade 3)

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