Determine o quociente e o resto da divisão euclidiana de f(x) por g(x) :
f(x)=x^{3}-27 e g(x)=x-3.

Passo 1

O enunciado nos dá f(x)=x^3-27 e g(x)=x-3. O objetivo é encontrar o quociente q(x) e o resto r(x) na divisão euclidiana de f por g, isto é, achar q e r tais que
f(x)=g(x)\,q(x)+r(x),
com \deg(r)<\deg(g). Vamos usar o Teorema do Resto e, em seguida, divisão sintética (Ruffini).

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, o resto da divisão de f(x) por x - a é f(a). Aqui a=3. Logo,
f(3)=3^3-27=27-27=0.
Como o resto é zero, concluímos que x-3 é fator de f(x), isto é, r(x)=0.

Passo 3

Para determinar o quociente q(x), aplicamos divisão sintética usando a raiz 3. Tomamos os coeficientes de f(x)=x^3+0x^2+0x-27, ou seja, (1,0,0,-27), e procedemos assim:
  • Baixamos o 1.
  • Multiplicamos 3\cdot1=3 e somamos ao próximo coeficiente 0, obtendo 3.
  • Multiplicamos 3\cdot3=9 e somamos ao próximo coeficiente 0, obtendo 9.
  • Multiplicamos 3\cdot9=27 e somamos ao coeficiente -27, obtendo 0 (o resto).
Os coeficientes do quociente são, então, (1,3,9), correspondendo a
q(x)=x^2+3x+9.
Também poderíamos ter reconhecido diretamente que
x^3-27=x^3-3^3=(x-3)(x^2+3x+9).

Resposta

O quociente é x^2+3x+9 e o resto é 0.

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