Determine o quociente e o resto da divisão euclidiana de f(x) por g(x) :
f(x)=2 x^{5}+7 x^{4}-18 x^{2}-8 x+8 e g(x)=x-\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para dividir
f(x)=2x^{5}+7x^{4}-18x^{2}-8x+8
por
g(x)=x-\tfrac12.
Estamos no conteúdo de divisão euclidiana de polinômios: ao dividir por um fator linear x-a, o resto é f(a) e o quociente tem grau um a menos que f.

Passo 2

Vamos calcular o resto como f\bigl(\tfrac12\bigr). Substituindo x=\tfrac12 em f(x):
f\bigl(\tfrac12\bigr) =2\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{5} +7\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{4} -18\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2} -8\Bigl(\tfrac12\Bigr) +8.
Agora cada termo:
2\Bigl(\tfrac1{32}\Bigr)=\tfrac1{16},\quad 7\Bigl(\tfrac1{16}\Bigr)=\tfrac7{16},\quad -18\Bigl(\tfrac1{4}\Bigr)=-\tfrac{18}{4}=-\tfrac92,\quad -8\Bigl(\tfrac12\Bigr)=-4,\quad +8.
Somando em frações de décimos-segundo:
\tfrac1{16}+\tfrac7{16}=\tfrac8{16}=\tfrac12, \quad \tfrac12-\tfrac92=-4, \quad -4-4=-8, \quad -8+8=0.
Logo o resto é zero, ou seja, x-\tfrac12 é de fato fator de f(x).

Passo 3

Como o resto é zero, obtemos o quociente de grau 4 por sintetização em x=\tfrac12. Escrevemos os coeficientes de f:
2,\;7,\;0,\;-18,\;-8,\;8.
Fazemos divisão sintética com c=\tfrac12:
\begin{array}{c|rrrrr} \tfrac12 & 2 & 7 & 0 & -18 & -8 & 8\\hline & & 1 & 8 & 4 & -16 & -16\\\ \hline & 2 & 8 & 4 & -16 & -16 & 0 \end{array}
Os detalhes: trazemos o 2; multiplicamos por \tfrac12 obtendo 1 e somamos a 7 para ter 8; multiplicamos 8 por \tfrac12 para 4 e somamos ao 0; e assim por diante. O último valor 0 é o resto.

Passo 4

Os coeficientes do quociente, na linha de resultados antes do resto, são
2,\;8,\;4,\;-16,\;-16,
que correspondem ao polinômio de grau 4
Q(x)=2x^{4}+8x^{3}+4x^{2}-16x-16.

Resposta

O quociente é
Q(x)=2x^{4}+8x^{3}+4x^{2}-16x-16
e o resto é R=0.

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