Verifique que \alpha é uma raiz de f(x), determine a sua multiplicidade r e escreva f(x)=(x-\alpha)^{r} q(x) :
f(x)=x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}-1, \alpha=-1.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
f(x)=x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}-1
e pede para verificar que \alpha=-1 é raiz, achar sua multiplicidade r e fatorar
f(x)=(x-\alpha)^{r}q(x)=(x+1)^{r}q(x).
O conteúdo aqui é teste de raiz racional e divisão sintética para encontrar multiplicidade.

Passo 2

Verificamos f(-1) substituindo x=-1:
f(-1)=(-1)^{9}-(-1)^{7}-(-1)^{6}-(-1)^{5}+(-1)^{4}+(-1)^{3}+(-1)^{2}-1
=-1 -(-1) -1 -(-1) +1 -1 +1 -1 =0.
Logo \alpha=-1 é de fato raiz de f.

Passo 3

Como \alpha=-1 é raiz, dividimos f(x) por x+1 via divisão sintética. Coeficientes de f:
1,\;0,\;-1,\;-1,\;-1,\;1,\;1,\;1,\;0,\;-1.
Aplicando sintética com -1 obtemos quociente
q_{1}(x)=x^{8}-x^{7}-x^{5}+x^{3}+x-1
e resto 0. Assim
f(x)=(x+1)\,q_{1}(x).

Passo 4

Testamos de novo q_{1}(-1):
q_{1}(-1)=(-1)^{8}-(-1)^{7}-(-1)^{5}+(-1)^{3}+(-1)-1=1+1+1-1-1-1=0.
Como voltou zero, dividimos q_{1}(x) outra vez por x+1. A sintética em
1,\;-1,\;0,\;-1,\;0,\;1,\;0,\;1,\;-1
dá quociente
q_{2}(x)=x^{7}-2x^{6}+2x^{5}-3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}+2x-1
e resto 0. Logo
f(x)=(x+1)^{2}q_{2}(x).

Passo 5

Para ver se há mais fatores x+1, calculamos
q_{2}(-1)=-1-2-2-3-3-2-2-1\neq 0.
Portanto a multiplicidade de \alpha=-1 é r=2.

Resposta

A multiplicidade de \alpha=-1 é r=2 e
f(x)=(x+1)^{2}\bigl(x^{7}-2x^{6}+2x^{5}-3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}+2x-1\bigr).

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