Verifique que \alpha é uma raiz de f(x), determine a sua multiplicidade r e escreva f(x)=(x-\alpha)^{r} q(x) :
f(x)=x^{4}+x^{3}-15 x^{2}-9 x+54, \alpha=3.

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio f(x)=x^{4}+x^{3}-15x^{2}-9x+54 e a raiz candidata \alpha=3. Queremos mostrar que f(3)=0, determinar a multiplicidade r de x-3 em f(x) e escrever
f(x)=(x-3)^{r}q(x).

Passo 2

Aplicamos o Teorema do Resto (ou simplesmente substituímos x=3) em f(x):
f(3)=3^{4}+3^{3}-15\cdot3^{2}-9\cdot3+54 =81+27-135-27+54=0.
Como f(3)=0, concluímos que (x-3) é fator de f(x).

Passo 3

Para extrair esse fator, dividimos f(x) por (x-3). Usando divisão sintética com o coeficientes 1,\;1,\;-15,\;-9,\;54 e o valor 3, obtemos o quociente
q(x)=x^{3}+4x^{2}-3x-18
e resto zero. Logo
f(x)=(x-3)\bigl(x^{3}+4x^{2}-3x-18\bigr).

Passo 4

Para verificar se a multiplicidade é maior que 1, avaliamos q(3):
q(3)=3^{3}+4\cdot3^{2}-3\cdot3-18 =27+36-9-18=36\neq0.
Como o quociente não se anula em x=3, não podemos extrair (x-3) novamente. Portanto a multiplicidade é r=1.

Resposta

A raiz \alpha=3 tem multiplicidade r=1 e
f(x)=(x-3)\bigl(x^{3}+4x^{2}-3x-18\bigr).

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