Determine se r(t) é contínua em t=0.
r(t)=5 i-raiz3 t+1 j+e^2 t k

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função vetor
r(t)=5,i-raiz3t+1,j+e^2t,k
é contínua em t=0.
O conteúdo aqui é continuidade de funções vetoriais: lembramos que r(t) é contínua em t=0 se, e somente se,
limtto0r(t)=r(0)

Passo 2

Analisamos o domínio de cada componente de r(t):
5 é constante e contínua em todo R.
raiz3t+1 exige 3t+1>=0, ou seja t>= -tfrac13. Como 0>= -tfrac13, a raiz está bem definida e é contínua em torno de t=0.
e^2t é contínua em todo R.

Passo 3

Calculamos o valor de r em t=0:
r(0) =5,i-raiz3cdot0+1,j+e^2cdot0,k =5,i-1,j+1,k

Passo 4

Agora calculamos o limite quando tto0 de cada componente:
limtto05=5.
limtto0raiz3t+1=raiz1=1.
limtto0e^2t=e^0=1.
Logo
limtto0r(t) =5,i-1,j+1,k =r(0)

Passo 5

Como o limite de r(t) quando tto0 coincide com r(0), concluímos que r(t) é contínua em t=0.

Resposta

Sim. r(t) é contínua em t=0.

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