Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo.
r=1+2 cos t

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da curva polar
r = 1 + 2cos t
ou seja, é uma curva polar (limaçon) que vamos traçar usando o GeoGebra. Para isso precisaremos converter em coordenadas cartesianas e escolher o domínio de t.

Passo 2

Converter a curva polar em forma paramétrica em (x,y). Como em coordenadas polares temos (r,theta)=(r,t), definimos
x(t) = rcos t = l(1+2cos tr)cos t,
y(t) = rsin t = l(1+2cos tr)sin t

Passo 3

Determinar o intervalo de variação de t e pontos críticos. O domínio natural é
0 <= t <= 2pi
Os zeros de r ocorrem quando
1+2cos t = 0 ;Longrightarrow;cos t = -tfrac12 ;Longrightarrow; t = tfrac2pi3,;tfrac4pi3
Entre esses valores aparece a alça interna do limaçon.

Passo 4

No GeoGebra, abra a vista Gráfico e use o comando de curva paramétrica. Por exemplo, digite na linha de entrada:
Curvel((1+2cos(t))cos(t),,(1+2cos(t))sin(t),,t,,0,,2pir)
Isso gera o gráfico da curva polar desejada.

Passo 5

Observando o gráfico, vemos que é um limaçon com alça interna (porque o coeficiente de cos t em r é maior que 1). A parte externa cresce até rmax=1+2=3 em t=0 e a alça interna fecha em r=0 nos pontos l(t=tfrac2pi3,tfrac4pi3r).

Resposta

O gráfico é um limaçon com alça interna (loop), obtido pela curva paramétrica
x(t)=(1+2cos t)cos t, y(t)=(1+2cos t)sin t, 0<= t<=2pi

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