Determine se r(t) é contínua em t = 0. 6. (a) r(t) = e^t i + cossec(t) k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a função vetorial é contínua em . Isso envolve o estudo da continuidade de funções vetoriais, que basicamente verifica se não há “saltos” ou “quebras” na função naquele ponto específico. Vamos precisar entender o que é continuidade e analisar cada componente da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Isso vale tanto para funções escalares quanto para funções vetoriais, onde analisamos cada componente separadamente.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada componente da nossa função vetorial :
  1. Componente :
  2. Componente :
Vamos verificar a continuidade de cada uma dessas funções em .

Passo 4

Começando pelo componente :
Sabemos que a função exponencial é contínua em todo o seu domínio, que é todos os números reais. Portanto, em , temos:
E está definido. Então, o componente é contínuo em .

Passo 5

Agora, vamos para o componente :
Aqui, precisamos esclarecer o que significa . Parece que há uma confusão com as funções trigonométricas. Geralmente, temos:
  • é a função secante, definida como .
  • é a função cossecante, definida como .
Assumindo que se refere a , então:
Agora, vamos analisar a continuidade de em .

Passo 6

Para que seja contínua em , precisamos que:
  1. esteja definido.
  2. exista.
  3. .
Sabemos que , então:
Isso significa que não está definido, pois divisão por zero é indefinida. Portanto, a função não é contínua em .

Passo 7

Como a continuidade da função vetorial depende da continuidade de todos os seus componentes, e vimos que o componente não é contínuo em , podemos concluir que a função vetorial também não é contínua em .

Resposta

A função vetorial não é contínua em .

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