Determine se
é contínua em
. 6. (a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a função vetorial
é contínua em
. Isso envolve o estudo da continuidade de funções vetoriais, que basicamente verifica se não há “saltos” ou “quebras” na função naquele ponto específico. Vamos precisar entender o que é continuidade e analisar cada componente da função separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
-
está definido. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Isso vale tanto para funções escalares quanto para funções vetoriais, onde analisamos cada componente separadamente.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada componente da nossa função vetorial
:
- Componente
: - Componente
:
Vamos verificar a continuidade de cada uma dessas funções em
.
Passo 4
Começando pelo componente
:
Sabemos que a função exponencial
é contínua em todo o seu domínio, que é todos os números reais. Portanto, em
, temos:
E
está definido. Então, o componente
é contínuo em
.
Passo 5
Agora, vamos para o componente
:
Aqui, precisamos esclarecer o que significa
. Parece que há uma confusão com as funções trigonométricas. Geralmente, temos:
-
é a função secante, definida como . -
é a função cossecante, definida como .
Assumindo que
se refere a
, então:
Agora, vamos analisar a continuidade de
em
.
Passo 6
Para que
seja contínua em
, precisamos que:
-
esteja definido. -
exista. -
.
Sabemos que
, então:
Isso significa que
não está definido, pois divisão por zero é indefinida. Portanto, a função
não é contínua em
.
Passo 7
Como a continuidade da função vetorial
depende da continuidade de todos os seus componentes, e vimos que o componente
não é contínuo em
, podemos concluir que a função vetorial
também não é contínua em
.
Resposta
A função vetorial
não é contínua em
.