Exprima cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial.
Para uma certa substância a razão de variação da pressão do vapor
em relação à temperatura
é proporcional à pressão do vapor e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura.
Para uma certa substância a razão de variação da pressão do vapor
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para escrever uma equação diferencial a partir de uma informação sobre como a pressão do vapor
muda com a temperatura
. O conteúdo está relacionado a equações diferenciais e taxas de variação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma taxa de variação proporcional a alguma coisa e como representar isso matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a frase "a razão de variação da pressão do vapor
em relação à temperatura
" para uma expressão matemática. Isso se refere à derivada de
em relação a
, que simbolizamos como
.
Passo 3
Agora, a frase diz que essa derivada é “proporcional à pressão do vapor”. Quando dizemos que algo é proporcional a outra coisa, usamos o símbolo de proporcionalidade
. Então, temos
.
Passo 4
Além disso, a derivada é “inversamente proporcional ao quadrado da temperatura”. Isso significa que além de ser proporcional a
, a derivada também é inversamente proporcional a
. Quando dizemos “inversamente proporcional”, usamos
.
Passo 5
Juntando as duas partes, temos que
é proporcional a
. Para transformar a proporcionalidade em igualdade, introduzimos uma constante de proporcionalidade, que podemos chamar de
. Assim, a equação fica:
Resposta
A equação diferencial é