Seja o escoamento de um fluido de densidade rho=1000 kg m^-3 definido pelo campo de velocidades v=x y i+y z j+z x k ms^-1. Este escoamento é irrotacional? Qual a taxa de acumulação por unidade de volume no ponto (1,1,1).

Passo 1

O enunciado dá um escoamento de fluido de densidade rho=1000 kg,m^-3 com campo de velocidades
v(x,y,z)=x y,i+y z,j+z x,k
Precisamos (a) verificar se o escoamento é irrotacional, ou seja, se nablatimesv=0; e (b) usar a equação da continuidade
partial rhopartial t + nablacdot(rho,v)=0
para achar a taxa de acumulação de massa por unidade de volume no ponto (1,1,1).

Passo 2

Para checar se o escoamento é irrotacional, calculamos o rotacional
nablatimesv = i&j&k partial/partial x & partial/partial y & partial/partial z x y & y z & z x
Isso dá, componente a componente:
(nablatimesv)x =partial(z x)partial y-partial(y z)partial z =0 - y = -y,
(nablatimesv)y =partial(x y)partial z-partial(z x)partial x =0 - z = -z,
(nablatimesv)z =partial(y z)partial x-partial(x y)partial y =0 - x = -x
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nablatimesv = -y,i - z,j - x,k

Passo 3

No ponto (1,1,1) temos
nablatimesv(1,1,1) =-1,i-1,j-1,kneq0
Portanto o escoamento não é irrotacional.

Passo 4

Agora calculamos o divergente para usar na equação da continuidade:
nablacdotv =partial(xy)partial x+partial(yz)partial y+partial(zx)partial z =y+z+x
Em (1,1,1) isso vale
nablacdotv(1,1,1)=1+1+1=3 s^-1

Passo 5

Como rho é constante no espaço, da continuidade segue
partial rhopartial t =-nablacdot(rho,v) =-rho,(nablacdotv)
No ponto (1,1,1) temos
partial rhopartial t =-1000cdot 3 = -3000 kg,m^-3,s^-1
Isto significa que a massa por unidade de volume está diminuindo a 3000 kg,m^-3,s^-1.

Resposta

O escoamento não é irrotacional, e a taxa de acumulação de massa por unidade de volume em (1,1,1) é
-3000 kg,m^-3,s^-1

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