Seja o escoamento de um fluido de densidade definido pelo campo de velocidades . Este escoamento é irrotacional? Qual a taxa de acumulação por unidade de volume no ponto .
Passo 1
O enunciado dá um escoamento de fluido de densidade com campo de velocidades
Precisamos (a) verificar se o escoamento é irrotacional, ou seja, se ; e (b) usar a equação da continuidade
para achar a taxa de acumulação de massa por unidade de volume no ponto .
Passo 2
Para checar se o escoamento é irrotacional, calculamos o rotacional
Isso dá, componente a componente:
(nablatimesv)x =partial(z x)partial y-partial(y z)partial z =0 - y = -y,
(nablatimesv)y =partial(x y)partial z-partial(z x)partial x =0 - z = -z,
(nablatimesv)z =partial(y z)partial x-partial(x y)partial y =0 - x = -x
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nablatimesv = -y,i - z,j - x,k
Passo 3
No ponto (1,1,1) temos
nablatimesv(1,1,1) =-1,i-1,j-1,kneq0
Portanto o escoamento não é irrotacional.
Passo 4
Agora calculamos o divergente para usar na equação da continuidade:
nablacdotv =partial(xy)partial x+partial(yz)partial y+partial(zx)partial z =y+z+x
Em (1,1,1) isso vale
nablacdotv(1,1,1)=1+1+1=3 s^-1
Passo 5
Como rho é constante no espaço, da continuidade segue
partial rhopartial t =-nablacdot(rho,v) =-rho,(nablacdotv)
No ponto (1,1,1) temos
partial rhopartial t =-1000cdot 3 = -3000 kg,m^-3,s^-1
Isto significa que a massa por unidade de volume está diminuindo a 3000 kg,m^-3,s^-1.
Resposta
O escoamento não é irrotacional, e a taxa de acumulação de massa por unidade de volume em (1,1,1) é