Determine o raio de um círculo cuja área é igual à área lateral de um cilindro equilátero de raio r.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Temos um cilindro equilátero de raio da base \;r\;.
  • O que se pede: determinar o raio de um círculo cuja área é igual à área lateral desse cilindro.
Observação: anotei que o enunciado chama o cilindro de “equilátero” — isso é informação relevante que vou usar mais adiante (não estou resolvendo nada ainda, só registrando os dados).

Passo 2

Vamos revisar as fórmulas que vamos precisar (aqui explico bem o que cada coisa significa).
  • Área lateral de um cilindro: \;A_{\text{lat}} = 2\pi r h\;, onde
    • \;r\; é o raio da base do cilindro,
    • \;h\; é a altura do cilindro,
    • \;\pi\; é a constante geométrica ( \approx 3{,}14159).
Explicação rápida: a área lateral de um cilindro é obtida “desenrolando” a superfície lateral; ela vira um retângulo de altura h e comprimento igual à circunferência da base ( 2\pi r), daí a área desse retângulo é 2\pi r \cdot h.
  • Área de um círculo: \;A_{\text{circ}} = \pi R^2\;, onde
    • \;R\; é o raio do círculo cuja área queremos encontrar.
Explicação rápida: a fórmula \pi R^2 é padrão — a área cresce com o quadrado do raio porque se você duplica o raio, a área fica 4 vezes maior.

Passo 3

Interpretando o termo “cilindro equilátero”: por convenção geométrica, um “cilindro equilátero” é um cilindro em que a altura é igual ao diâmetro da base. Em símbolos:
h = 2r.
Aqui eu estou usando essa definição para transformar a informação qualitativa (“equilátero”) em uma relação matemática entre h e r.

Passo 4

Agora calculo a área lateral do cilindro usando \;A_{\text{lat}} = 2\pi r h\; e substituindo \;h = 2r\;:
A_{\text{lat}} = 2\pi r \cdot (2r).
Faço a multiplicação passo a passo: 2\pi r \cdot 2r = (2\cdot 2)\pi (r\cdot r) = 4\pi r^{2}. Portanto
A_{\text{lat}} = 4\pi r^{2}.

Passo 5

Queremos que a área do círculo seja igual à área lateral do cilindro. Em equação:
\pi R^{2} = A_{\text{lat}}.
Substituindo o valor que achamos para A_{\text{lat}}:
\pi R^{2} = 4\pi r^{2}.

Passo 6

Simplifico a equação cancelando \pi em ambos os lados (isso é válido porque \pi\neq 0):
R^{2} = 4 r^{2}.
Agora resolvo para R: tomo raiz quadrada em ambos os lados. Como R é um raio, escolhemos a raiz não-negativa:
R = \sqrt{4 r^{2}} = 2r.
Explicando: \sqrt{4 r^{2}} = \sqrt{4}\,\sqrt{r^{2}} = 2|r|. Como o raio r dado é não-negativo por definição geométrica, |r| = r, então R = 2r.

Passo 7

Cheque rápido com um exemplo numérico para confiar na resposta: se \;r=1\;, então a área lateral do cilindro é 4\pi. Um círculo de raio R=2 tem área \pi\cdot 2^{2}=4\pi, bate certinho. Bom sinal!
Força aí — você já tem a fórmula pronta para usar na prova: basta lembrar que cilindro equilátero tem h=2r e igualar \pi R^{2} à área lateral.

Resposta

2r

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