Determine o raio de um círculo cuja área é igual à área lateral de um cilindro equilátero de raio
.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Temos um cilindro equilátero de raio da base
. - O que se pede: determinar o raio de um círculo cuja área é igual à área lateral desse cilindro.
Observação: anotei que o enunciado chama o cilindro de “equilátero” — isso é informação relevante que vou usar mais adiante (não estou resolvendo nada ainda, só registrando os dados).
Passo 2
Vamos revisar as fórmulas que vamos precisar (aqui explico bem o que cada coisa significa).
- Área lateral de um cilindro:
, onde -
é o raio da base do cilindro, -
é a altura do cilindro, -
é a constante geométrica ( ).
-
Explicação rápida: a área lateral de um cilindro é obtida “desenrolando” a superfície lateral; ela vira um retângulo de altura
e comprimento igual à circunferência da base (
), daí a área desse retângulo é
.
- Área de um círculo:
, onde -
é o raio do círculo cuja área queremos encontrar.
-
Explicação rápida: a fórmula
é padrão — a área cresce com o quadrado do raio porque se você duplica o raio, a área fica 4 vezes maior.
Passo 3
Interpretando o termo “cilindro equilátero”: por convenção geométrica, um “cilindro equilátero” é um cilindro em que a altura é igual ao diâmetro da base. Em símbolos:
Aqui eu estou usando essa definição para transformar a informação qualitativa (“equilátero”) em uma relação matemática entre
e
.
Passo 4
Agora calculo a área lateral do cilindro usando
e substituindo
:
Faço a multiplicação passo a passo:
. Portanto
Passo 5
Queremos que a área do círculo seja igual à área lateral do cilindro. Em equação:
Substituindo o valor que achamos para
:
Passo 6
Simplifico a equação cancelando
em ambos os lados (isso é válido porque
):
Agora resolvo para
: tomo raiz quadrada em ambos os lados. Como
é um raio, escolhemos a raiz não-negativa:
Explicando:
. Como o raio
dado é não-negativo por definição geométrica,
, então
.
Passo 7
Cheque rápido com um exemplo numérico para confiar na resposta: se
, então a área lateral do cilindro é
. Um círculo de raio
tem área
, bate certinho. Bom sinal!
Força aí — você já tem a fórmula pronta para usar na prova: basta lembrar que cilindro equilátero tem
e igualar
à área lateral.