Determine o raio de convergência de cada uma das séries abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o raio de convergência de várias séries de potências. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e aplicar testes como o Teste da Razão ou o Teste da Raiz. Precisaremos conhecer as regras para identificar o raio de convergência utilizando esses testes e aplicar corretamente as fórmulas matemáticas correspondentes.
Passo 2
Série 1:
Primeiro, identificamos a forma geral da série: , onde e . Vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão:
Então, o raio de convergência R = 1L = 3 .
Passo 4
Série 2: sumn=0^infty 11^n + 2in! z^n
Aqui, a série é da forma an z^n , com an = 11^n + 2in! . Vamos usar o Teste da Razão.
Passo 5
Aplicando o Teste da Razão:
Como , o raio de convergência é infinito.
Passo 6
Série 3: sumn=0^infty n^2i2^n(z - pi)^n
A série tem a forma an (z - c)^n , com an = n^2i2^n e c = pi .
Passo 7
Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (n+1)^2i2^n+1 cdot 2^nn^2i | = limn to infty | (n+1)^2i2 n^2i | = 12
Portanto, R = 1L = 2 .
Passo 8
Série 4: sumn=0^infty 5(4+3i)^n z^n
A série é sum an z^n com an = 5(4+3i)^n .
Passo 9
Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | 5(4+3i)^n+1 cdot (4+3i)^n5 | = | 14+3i | = 1raiz4^2 + 3^2 = 15
Logo, R = 1L = 5 .
Passo 10
Série 5: sumn=0^infty 7n(5+i)^n(z + 2)^n
A série é an (z + 2)^n com an = 7n(5+i)^n .
Passo 11
Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | 7(n+1)(5+i)^n+1 cdot (5+i)^n7n | = limn to infty | n+1n cdot 15+i | = 1raiz5^2 + 1^2 = 1raiz26
Portanto, R = raiz26 .
Passo 12
Série 6: sumn=1^infty 1log(ni) z^n
Primeiro, note que log(ni) envolve números complexos. Entretanto, para o raio de convergência, consideramos o módulo.
Passo 13
Aplicando o Teste da Razão:
an = 1log(ni)
Como |log(ni)| cresce com n , o limite:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty |log(ni)||log((n+1)i)| = 1
Neste caso, o teste é inconclusivo, mas como an tende a zero, a série converge para |z| < 1 . Portanto, R = 1 .
Passo 14
Série 7: sumn=0^infty (i)^n2^ni z^n
Primeiro, simplificamos 2^ni = e^ni ln 2 , e i^n = e^i n pi/2 .
Passo 15
O módulo de an = (i)^n2^ni é:
|an| = | 12^ni | = 1
Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = 1
Portanto, o raio de convergência R = 1 .
Passo 16
Série 8: sumn=1^infty (-1)^n+1raiz3i n z^n
A série é an z^n com an = (-1)^n+1raiz3i n .
Passo 17
Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^n+2raiz3i (n+1) cdot raiz3i n(-1)^n+1 | = limn to infty nn+1 = 1
O teste é inconclusivo, mas observando que an é similar a 1/n , a série converge quando |z| < 1 . Logo, R = 1 .
Passo 18
Série 9: sumn=0^infty 3^n ii(2n)! z^n
Simplificamos 3^n i = e^n i ln 3 , cujo módulo é 1. Então, |an| = 1|i| (2n)! = 1(2n)! .
Passo 19
Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty 1/(2(n+1))!1/(2n)! = limn to infty 1(2n+2)(2n+1) = 0
Como L = 0 < 1 , o raio de convergência é infinito.
Passo 20
Série 10: sumn=0^infty (n!)^2(2n)! z^n
A série é an z^n com an = (n!)^2(2n)! .
Passo 21
Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty ((n+1)!)^2(2n+2)! cdot (2n)!(n!)^2 = limn to infty (n+1)^2(2n+2)(2n+1) = 14
Assim, R = 1L = 4 .
Passo 22
Série 11: sumn=1^infty(1+1n)^n z^n
Aqui, an = (1+1n)^n .
Passo 23
Sabemos que limn to infty (1+1n)^n = e . Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty an+1an = limn to infty (1+1n+1)^n+1(1+1n)^n = e / e = 1
Portanto, R = 1 .
Passo 24
Série 12: sumn=1^infty(1+1n)^n^2 z^n
Aqui, an = (1+1n)^n^2 .
Passo 25
Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty (1+1n)^n = e
Então,
L = limn to infty an+1an = limn to infty (1+1n+1)^(n+1)^2 (1+1n)^-n^2 approx e^2
Logo, R = 1e^2 .
Passo 26
Série 13: sumn=1^infty(1-1n)^n z^n
Aqui, an = (1-1n)^n .
Passo 27
Sabemos que limn to infty (1-1n)^n = 1e . Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty an+1an = limn to infty (1-1n+1)^n+1(1-1n)^n = 1e / 1e = 1
Portanto, R = 1 .
Passo 28
Série 14: sumn=1^infty n^log n z^n
Aqui, an = n^log n .
Passo 29
Aplicando o Teste da Raiz:
1R = limn to infty raiz[n]n^log n = limn to infty e^(log n)(log n)/n = 1
Logo, R = 1 .
Passo 30
Série 15: sumn=1^infty 1(log n)^n z^n
Aqui, an = 1(log n)^n .
Passo 31
Aplicando o Teste da Raiz:
1R = limn to infty raiz[n]1(log n)^n = limn to infty 1log n = 0