Mostre, usando o produto de séries (Proposição 2.7), que se
então:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício que envolve séries de potências. O problema pede para mostrar, usando o produto de séries (Proposição 2.7), que se temos
, então:
Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar duas séries de potências e como isso afeta os coeficientes das potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. A série
significa que cada termo de
é
, somados para todos os
de 0 ao infinito.
Além disso, sabemos que
pode ser expandido em uma série geométrica:
Passo 3
Agora, queremos multiplicar
por
. Segundo a Proposição 2.7, o produto de duas séries de potências é dado pela soma de todas as combinações possíveis de multiplicar os termos das duas séries. Ou seja:
Passo 4
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo. Multiplicando os termos:
Cada termo
no resultado vem da soma de todos os produtos
para
até
. Assim, o coeficiente de
será:
Passo 5
Portanto, ao multiplicar
por
, cada coeficiente de
na série resultante é a soma dos primeiros
termos de
. Isso nos dá:
Resposta
Assim, mostramos que: