Mostre, usando o produto de séries (Proposição 2.7), que se f(z)=sumn=0^infty an z^n então:
11-z f(z)=sumn=0^infty(a0+cdots+an) z^n

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício que envolve séries de potências. O problema pede para mostrar, usando o produto de séries (Proposição 2.7), que se temos f(z) = sumn=0^infty an z^n , então:
11 - z f(z) = sumn=0^infty (a0 + cdots + an) z^n
Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar duas séries de potências e como isso afeta os coeficientes das potências de z .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. A série f(z) = sumn=0^infty an z^n significa que cada termo de f(z) é an z^n , somados para todos os n de 0 ao infinito.
Além disso, sabemos que 11 - z pode ser expandido em uma série geométrica:
11 - z = sumk=0^infty z^k

Passo 3

Agora, queremos multiplicar 11 - z por f(z) . Segundo a Proposição 2.7, o produto de duas séries de potências é dado pela soma de todas as combinações possíveis de multiplicar os termos das duas séries. Ou seja:
( sumk=0^infty z^k ) ( sumn=0^infty an z^n ) = summ=0^infty ( sumk=0^m am - k ) z^m

Passo 4

Vamos fazer essa multiplicação passo a passo. Multiplicando os termos:
(1 + z + z^2 + z^3 + cdots ) (a0 + a1 z + a2 z^2 + a3 z^3 + cdots )
Cada termo z^m no resultado vem da soma de todos os produtos ak z^k times z^m - k para k = 0 até m . Assim, o coeficiente de z^m será:
a0 + a1 + a2 + cdots + am

Passo 5

Portanto, ao multiplicar 11 - z por f(z) , cada coeficiente de z^m na série resultante é a soma dos primeiros m + 1 termos de an . Isso nos dá:
11 - z f(z) = summ=0^infty (a0 + a1 + cdots + am) z^m

Resposta

Assim, mostramos que:
11 - z f(z) = sumn=0^infty (a0 + cdots + an) z^n

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