Existem os limites
e
sen
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos dois limites para calcular:
Vamos precisar usar conhecimentos de funções trigonométricas envolvendo números complexos e propriedades de limites. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Aqui,
representa a unidade imaginária, onde
. A função cosseno pode ser estendida para números complexos usando a fórmula:
No nosso caso,
. Vamos substituir:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Sabemos que
cresce muito rápido à medida que
aumenta, enquanto
tende a zero. Então:
Portanto, o primeiro limite é infinito.
Passo 4
Agora, vamos para o segundo limite:
. Primeiro, vamos lembrar que para números complexos, a função seno é dada por:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar por
:
Simplificando:
Passo 6
Sabemos que para
próximo de zero,
. Então, quando
tende ao infinito,
tende a zero, e podemos aproximar:
Substituindo na expressão:
Portanto, o segundo limite é
.