Existem os limites lim n infty cos (n pi i) e lim n infty n i sen (pi in) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos dois limites para calcular:
  1. limn to infty cos(n pi i)
  2. limn to infty n i , sin(pi in)
Vamos precisar usar conhecimentos de funções trigonométricas envolvendo números complexos e propriedades de limites. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é cos(n pi i) . Aqui, i representa a unidade imaginária, onde i^2 = -1 . A função cosseno pode ser estendida para números complexos usando a fórmula:
cos(z) = e^iz + e^-iz2
No nosso caso, z = n pi i . Vamos substituir:
cos(n pi i) = e^i(n pi i) + e^-i(n pi i)2 = e^-n pi + e^n pi2

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de e^-n pi + e^n pi2 quando n tende ao infinito. Sabemos que e^n pi cresce muito rápido à medida que n aumenta, enquanto e^-n pi tende a zero. Então:
limn to infty e^-n pi + e^n pi2 = limn to infty e^n pi2 = infty
Portanto, o primeiro limite é infinito.

Passo 4

Agora, vamos para o segundo limite: limn to infty n i , sin(pi in) . Primeiro, vamos lembrar que para números complexos, a função seno é dada por:
sin(z) = e^iz - e^-iz2i
Substituindo z = pi in :
sin(pi in) = e^i(pi in) - e^-i(pi in)2i = e^-pin - e^pin2i

Passo 5

Agora, vamos multiplicar por n i :
n i , sin(pi in) = n i cdot e^-pin - e^pin2i = n cdot e^-pin - e^pin2
Simplificando:
n cdot e^-pin - e^pin2 = n2 (e^-pin - e^pin) = n2 (-2 sinh(pin)) = -n sinh(pin)

Passo 6

Sabemos que para x próximo de zero, sinh(x) approx x . Então, quando n tende ao infinito, pin tende a zero, e podemos aproximar:
sinh(pin) approx pin
Substituindo na expressão:
-n cdot pin = -pi
Portanto, o segundo limite é -pi .

Resposta

  1. limn to infty cos(n pi i) = infty
  2. limn to infty n i , sin(pi in) = -pi

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