Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=0^+infty(-1)^k x^2 k+1(2 k+1)!

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumk=0^+infty(-1)^k,x^2k+1(2k+1)!
O conteúdo envolvido é teste da razão (Cauchy) aplicado a séries de potências.

Passo 2

Chamemos
ak=(-1)^k,x^2k+1(2k+1)!
Aplicamos o teste da razão, calculando
|ak+1ak| =|x^2(k+1)+1(2(k+1)+1)!,(2k+1)!x^2k+1| =|x|^2(2k+2)(2k+3)

Passo 3

Agora analisamos o limite quando kto+infty:
limkto+infty|x|^2(2k+2)(2k+3)=0
Como esse limite é sempre menor que 1 para todo xinR, a série converge absolutamente em qualquer valor de x.

Passo 4

Pelo teste da razão, o raio de convergência R satisfaz
R=10=+infty
Logo, o intervalo de convergência é todo o eixo real, isto é, (-infty,infty).

Resposta

O raio de convergência é R=+infty e o intervalo de convergência é (-infty,infty).

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