Determine o Raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 2^nn x^n
Obs: Analise os extremos do intervalo encontrado.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita do tipo:
sumn=1^infty 2^nn x^n
E o objetivo é descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. O raio de convergência nos diz até onde o valor de x faz a série “funcionar”, ou seja, onde ela converge. O intervalo de convergência vai nos mostrar exatamente os valores de x para os quais a série converge, incluindo os extremos. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática usada para determinar se uma série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. O teste basicamente olha para o limite da razão entre termos consecutivos da série. A fórmula do Teste da Razão é:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1 , a série converge; se L > 1 , a série diverge; e se L = 1 , o teste é inconclusivo.
Aqui, nosso an é 2^nn x^n .
Vamos calcular an+1an :
an+1an = 2^n+1n+1 x^n+12^nn x^n = 2^n+1n+1 cdot n2^n cdot x = 2 cdot nn+1 cdot x

Passo 3

Agora, vamos encontrar o limite quando n vai para o infinito:
L = limn to infty | 2 cdot nn+1 cdot x | = limn to infty | 2nn+1 | cdot |x| = 2 |x|
Isso porque 2nn+1 tende para 2 quando n cresce muito.

Passo 4

Segundo o Teste da Razão, a série converge quando L < 1 :
2 |x| < 1 implies |x| < 12
Então, o raio de convergência é R = 12 .

Passo 5

Com o raio de convergência, podemos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para valores de x que satisfazem |x| < 12 . Isso significa que:
-12 < x < 12
Agora, precisamos verificar os extremos desse intervalo, ou seja, x = -12 e x = 12 , para ver se a série também converge nesses pontos.

Passo 6

Vamos testar x = 12 :
Substituindo na série:
sumn=1^infty 2^nn ( 12 )^n = sumn=1^infty 2^nn cdot 12^n = sumn=1^infty 1n
Essa é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge.

Passo 7

Agora, vamos testar x = -12 :
Substituindo na série:
sumn=1^infty 2^nn ( -12 )^n = sumn=1^infty 2^nn cdot (-1)^n2^n = sumn=1^infty (-1)^nn
Essa é a série alternada harmônica, que converge pelo Teste da Série Alternada.

Resposta

O raio de convergência é R = 12 e o intervalo de convergência é ( -12, 12 ] , onde a série converge para x = -12 e diverge para x = 12 .

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