Determine o Raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries:
Obs: Analise os extremos do intervalo encontrado.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a série infinita:
O que queremos encontrar aqui é o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de séries de potências e os testes de convergência, como o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série de potências na forma geral:
Comparando com a nossa série, vemos que e . Nosso objetivo é encontrar para quais valores de essa série converge.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência (), usamos o Teste da Razão, que nos diz para uma série de potências:
Se L < 1 , a série converge; se L > 1 , diverge; e se L = 1 , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão à nossa série:
L = limn to infty | (-1)^n+1(n+1)^2(-1)^nn^2 | = limn to infty | n^2(n+1)^2 | = limn to infty ( nn+1 )^2 = 1
Como L = 1 , o Teste da Razão não nos dá uma resposta definitiva sobre a convergência.
Passo 5
Quando o Teste da Razão é inconclusivo, podemos usar o Teste da Série P ou analisar o comportamento da série comparando com uma série conhecida. Observando nossa série:
sumn=0^infty (-1)^nn^2(x+1)^n
Perceba que 1n^2 é uma série p com p = 2 , que é convergente. Além disso, o termo (x+1)^n sugere que a série é uma série de potências centrada em c = -1 .
Passo 6
Para encontrar o raio de convergência ( R ), usamos a relação:
R = 1limsupn to infty raiz[n]|an|
Calculando:
limsupn to infty raiz[n]| (-1)^nn^2 | = limn to infty 1n^2/n = 1
Portanto, R = 1 .
Passo 7
Com o raio de convergência R = 1 , o intervalo de convergência é:
c - R < x < c + R implies -1 - 1 < x < -1 + 1 implies -2 < x < 0
Passo 8
Agora, precisamos verificar a convergência nos extremos do intervalo, ou seja, em x = -2 e x = 0 .