Determine o Raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries:
sumn=0^infty (-1)^nn^2(x+1)^n
Obs: Analise os extremos do intervalo encontrado.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a série infinita:
sumn=0^infty (-1)^nn^2(x+1)^n
O que queremos encontrar aqui é o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de séries de potências e os testes de convergência, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série de potências na forma geral:
sumn=0^infty an (x - c)^n
Comparando com a nossa série, vemos que c = -1 e an = (-1)^nn^2 . Nosso objetivo é encontrar para quais valores de x essa série converge.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência ( R ), usamos o Teste da Razão, que nos diz para uma série de potências:
limn to infty | an+1an | = L
Se L < 1 , a série converge; se L > 1 , diverge; e se L = 1 , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão à nossa série:
L = limn to infty | (-1)^n+1(n+1)^2(-1)^nn^2 | = limn to infty | n^2(n+1)^2 | = limn to infty ( nn+1 )^2 = 1
Como L = 1 , o Teste da Razão não nos dá uma resposta definitiva sobre a convergência.

Passo 5

Quando o Teste da Razão é inconclusivo, podemos usar o Teste da Série P ou analisar o comportamento da série comparando com uma série conhecida. Observando nossa série:
sumn=0^infty (-1)^nn^2(x+1)^n
Perceba que 1n^2 é uma série p com p = 2 , que é convergente. Além disso, o termo (x+1)^n sugere que a série é uma série de potências centrada em c = -1 .

Passo 6

Para encontrar o raio de convergência ( R ), usamos a relação:
R = 1limsupn to infty raiz[n]|an|
Calculando:
limsupn to infty raiz[n]| (-1)^nn^2 | = limn to infty 1n^2/n = 1
Portanto, R = 1 .

Passo 7

Com o raio de convergência R = 1 , o intervalo de convergência é:
c - R < x < c + R implies -1 - 1 < x < -1 + 1 implies -2 < x < 0

Passo 8

Agora, precisamos verificar a convergência nos extremos do intervalo, ou seja, em x = -2 e x = 0 .
Para x = -2 :
sumn=0^infty (-1)^nn^2(-2+1)^n = sumn=0^infty (-1)^nn^2(-1)^n = sumn=0^infty 1n^2
Essa é a série p com p = 2 , que converge.
Para x = 0 :
sumn=0^infty (-1)^nn^2(0+1)^n = sumn=0^infty (-1)^nn^2
Essa é uma série alternada com termos decrescentes e tendendo a zero, que também converge.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é -2 <= x <= 0 .

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