Estude a convergência ou divergência das séries abaixo.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na série
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge, ou seja, se a soma dos termos dela chega a um número finito, ou diverge, se a soma cresce sem limite. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, é bom saber que uma série geométrica é do tipo
, onde
é a razão comum entre os termos consecutivos. A chave para saber se essa série converge ou não está no valor de
.
Passo 3
A regra básica para séries geométricas é: se o valor absoluto de
for menor que 1 (
), a série converge. Se for maior ou igual a 1 (
), ela diverge.
Passo 4
No nosso caso, a razão
é
, que claramente é menor que 1. Então, de acordo com a regra, a série converge.
Passo 5
Como a série converge, podemos até calcular a soma dela usando a fórmula da série geométrica convergente:
Substituindo
por
:
Resposta
A série
converge e sua soma é
.