Estude a convergência ou divergência das séries abaixo.
sumn=0^infty(23)^n

Passo 1

Vamos dar uma olhada na série sumn=0^infty(23)^n. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge, ou seja, se a soma dos termos dela chega a um número finito, ou diverge, se a soma cresce sem limite. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, é bom saber que uma série geométrica é do tipo sumn=0^infty r^n, onde r é a razão comum entre os termos consecutivos. A chave para saber se essa série converge ou não está no valor de r.

Passo 3

A regra básica para séries geométricas é: se o valor absoluto de r for menor que 1 ( |r| < 1), a série converge. Se for maior ou igual a 1 ( |r| >= 1), ela diverge.

Passo 4

No nosso caso, a razão r é 23, que claramente é menor que 1. Então, de acordo com a regra, a série converge.

Passo 5

Como a série converge, podemos até calcular a soma dela usando a fórmula da série geométrica convergente:
S = 11 - r
Substituindo r por 23:
S = 11 - 23 = 113 = 3

Resposta

A série sumn=0^infty(23)^n converge e sua soma é 3.

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