Determine o Raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries:
Obs: Analise os extremos do intervalo encontrado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Esse tipo de problema faz parte do conteúdo de Análise de Séries, especificamente sobre séries de potências. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para a série
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
limn to infty | 10 cdot (x-1)n+1 |
Como n+1 vai para infinito, o limite será:
0
E 0 < 1 , o que significa que, para qualquer valor de x , a condição do Teste da Razão é satisfeita. Isso indica que a série converge para todo valor real de x .
Passo 4
Porém, precisamos identificar o raio de convergência ®. É definido pela fórmula:
R = 1limsupn to infty raiz[n]|an|
No nosso caso, já vimos que o limite da razão é zero, o que implica que R = infty . Isso significa que a série converge para todos os números reais.
Passo 5
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Como o raio de convergência é infinito, o intervalo é todo o conjunto dos números reais, ou seja:
(-infty, infty)
Como o intervalo se estende ao infinito, não há pontos finais para analisar. A série converge em todos os valores de x .
Resposta
O raio de convergência é R = infty e o intervalo de convergência é (-infty, infty) . A série converge para todo número real x .