Determine o Raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 10^nn!(x-1)^n
Obs: Analise os extremos do intervalo encontrado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty 10^nn!(x-1)^n
Esse tipo de problema faz parte do conteúdo de Análise de Séries, especificamente sobre séries de potências. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para a série
sum an
a série converge se
limn to infty | an+1an | < 1
No nosso caso,
an = 10^nn!(x-1)^n
Então, temos
an+1 = 10^n+1(n+1)!(x-1)^n+1
Vamos calcular a razão:
| an+1an | = | 10^n+1(n+1)!(x-1)^n+1 cdot n!10^n(x-1)^n |
Simplificando:
= | 10 cdot (x-1)n+1 |

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
limn to infty | 10 cdot (x-1)n+1 |
Como n+1 vai para infinito, o limite será:
0
E 0 < 1 , o que significa que, para qualquer valor de x , a condição do Teste da Razão é satisfeita. Isso indica que a série converge para todo valor real de x .

Passo 4

Porém, precisamos identificar o raio de convergência ®. É definido pela fórmula:
R = 1limsupn to infty raiz[n]|an|
No nosso caso, já vimos que o limite da razão é zero, o que implica que R = infty . Isso significa que a série converge para todos os números reais.

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Como o raio de convergência é infinito, o intervalo é todo o conjunto dos números reais, ou seja:
(-infty, infty)
Como o intervalo se estende ao infinito, não há pontos finais para analisar. A série converge em todos os valores de x .

Resposta

O raio de convergência é R = infty e o intervalo de convergência é (-infty, infty) . A série converge para todo número real x .

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