Se 11+2 x=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3+cdots, quem é a3?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de a3 na expansão da função 11+2x . Esse tipo de problema envolve séries de potências e expansão em séries. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da série geométrica e entender como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função 11+2x de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica. Sabemos que a série geométrica tem a forma:
11 - r = 1 + r + r^2 + r^3 + cdots
Onde |r| < 1 . Nosso objetivo é fazer com que a nossa função se pareça com o lado esquerdo dessa equação.

Passo 3

Observando a nossa função 11+2x , podemos reescrevê-la como:
11 - (-2x)
Agora, fica claro que r = -2x . Assim, nossa função está na mesma forma da série geométrica, onde r = -2x .

Passo 4

Agora que identificamos r = -2x , podemos substituir na série geométrica:
11 - (-2x) = 1 + (-2x) + (-2x)^2 + (-2x)^3 + cdots
Vamos simplificar cada termo:
1 - 2x + 4x^2 - 8x^3 + cdots

Passo 5

Comparando essa expansão com a expressão dada no exercício:
11+2x = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + cdots
Podemos identificar os coeficientes:
a0 = 1, a1 = -2, a2 = 4, a3 = -8, cdots

Resposta

Portanto, o valor de a3 é -8.

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