Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=0^infty 1n+5(x-3)^n;

Passo 1

E aí, tudo certo? A questão pede pra gente achar o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty1n+5,(x-3)^n
O assunto é séries de potências. Para resolver, vamos usar o teste da razão pra encontrar o raio, e depois conferir os extremos x=3pm R com o critério de Leibniz (para série alternada) e o comportamento de p-séries.

Passo 2

Aplicando o teste da razão:
Para uma série sum un, o teste da razão diz que, se
L=limntoinftyl|un+1unr|,
então
  • se L<1, a série converge;
  • se L>1, diverge;
  • se L=1, dá empate e precisa de outro teste.
Aqui un=1n+5(x-3)^n. Então
l|un+1unr| =l|1n+6(x-3)^n+11n+5(x-3)^nr| =|x-3|;n+5,n+6,
Quando ntoinfty, n+5n+6to1. Logo
L=limntoinfty|x-3|;n+5n+6=|x-3|
A condição de convergência é L<1, ou seja
|x-3|<1
Isso significa que o raio de convergência é
boxedR=1

Passo 3

Da condição |x-3|<1 vem o intervalo central
2<x<4
Agora testa os extremos:
  1. x=2: aí x-3=-1 e a série vira
sumn=0^infty(-1)^nn+5
Como 1/(n+5) é decrescente e tende a zero, pelo critério de Leibniz (séries alternadas) ela converge.
  1. x=4: aí x-3=1 e a série é
sumn=0^infty1n+5,
que é como a soma harmônica (p-série com p=1), e a gente sabe que diverge.
Portanto o intervalo de convergência é
boxed[2,,4)

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: [2,4).

Exercícios relacionados