Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=0^infty (-3)^nraizn+1 x^n.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty (-3)^nraizn+1 , x^n
Isso cai na matéria “séries de potências”. Para resolver, vamos usar o Teste da Raiz (ou Cauchy) pra descobrir o raio R e depois checar o que acontece nos extremos x=pm tfrac13.

Passo 2

Aplicando o Teste da Raiz: se
L = limsupntoinfty raiz[n]l|an x^nr| ;<;1,
a série converge. Aqui an = (-3)^nraizn+1, então
raiz[n]l|an x^nr| = raiz[n]3^n,|x|^nraizn+1 = 3,|x|;l(n+1r)^-12n
Como limntoinfty(n+1)^1/(2n)=1, o limite é 3,|x|.

Passo 3

Pelo teste, a série converge se
3,|x| < 1 Long<=ftrightarrow |x| < tfrac13
Logo o raio de convergência é
R = tfrac13

Passo 4

Agora analisamos os extremos x=pmtfrac13:
  1. Para x = +tfrac13:
an x^n = (-3)^nraizn+1l(tfrac13r)^n = (-1)^nraizn+1
Isso é uma série alternada com termo bn=1/raizn+1, que é positivo, decresce e tende a zero. Pelo Critério de Leibniz, converge.
  1. Para x = -tfrac13:
an x^n = (-3)^nraizn+1l(-tfrac13r)^n = 1raizn+1
É a série sum n^-1/2, uma p-série com p=tfrac12<1, que diverge.

Resposta

Raio de convergência: R = tfrac13.
Intervalo de convergência: -tfrac13 < x <= tfrac13.

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