Nos Exercícios de I a 38 ache a área limitada pelas curvas dadas. Em cada problema, faça o seguinte: (a) desenhe uma figura mostrando a região e um elemento de área retangular; (b) expresse a área da regiāo como o limite de uma soma de Riemann; (c) ache o limite na parte (b), calculando uma integral definida pelo segundo teorema fundamental do Cálculo.
; eixo
Passo 1
Vamos lá! Precisamos encontrar a área limitada pela curva
, o eixo
, e as retas verticais
e
. Isso envolve usar cálculo integral para calcular essa área. Para isso, vamos identificar os limites de integração e a função que vamos integrar.
Passo 2
Primeiro, imagine a parábola
abrindo para cima. O eixo
está na altura
, e as linhas verticais
e
delimitam a região que queremos. Para calcular a área dessa região, podemos expressá-la como o limite de uma soma de Riemann, dividindo o intervalo de
a
em pequenas fatias e somando as áreas desses retângulos.
A expressão matemática fica assim:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral definida usando o segundo teorema fundamental do Cálculo. A integral que representa a área é:
Vamos resolver essa integral passo a passo:
- Encontrar a antiderivada de
:
- Aplicar os limites de integração:
- Calcular para
:
- Calcular para
:
- Subtrair os resultados:
Resposta
A área limitada pelas curvas dadas é 15 unidades quadradas.