Nos Exercícios de I a 38 ache a área limitada pelas curvas dadas. Em cada problema, faça o seguinte: (a) desenhe uma figura mostrando a região e um elemento de área retangular; (b) expresse a área da regiāo como o limite de uma soma de Riemann; (c) ache o limite na parte (b), calculando uma integral definida pelo segundo teorema fundamental do Cálculo.
y=x^2-2 x+3; eixo x ; x=-2 ; x=1

Passo 1

Vamos lá! Precisamos encontrar a área limitada pela curva y = x^2 - 2x + 3 , o eixo x , e as retas verticais x = -2 e x = 1 . Isso envolve usar cálculo integral para calcular essa área. Para isso, vamos identificar os limites de integração e a função que vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, imagine a parábola y = x^2 - 2x + 3 abrindo para cima. O eixo x está na altura y = 0 , e as linhas verticais x = -2 e x = 1 delimitam a região que queremos. Para calcular a área dessa região, podemos expressá-la como o limite de uma soma de Riemann, dividindo o intervalo de x = -2 a x = 1 em pequenas fatias e somando as áreas desses retângulos.
A expressão matemática fica assim:
A = limn to infty sumi=1^n f(xi) De<a x
Onde:
  • f(x) = x^2 - 2x + 3
  • De<a x = 1 - (-2)n = 3n

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida usando o segundo teorema fundamental do Cálculo. A integral que representa a área é:
A = integral-2^1 (x^2 - 2x + 3) , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo:
  1. Encontrar a antiderivada de f(x) :
integral (x^2 - 2x + 3) , dx = x^33 - x^2 + 3x + C
  1. Aplicar os limites de integração:
A = [ x^33 - x^2 + 3x ]-2^1
  1. Calcular para x = 1 :
1^33 - 1^2 + 3(1) = 13 - 1 + 3 = 13 + 2 = 73
  1. Calcular para x = -2 :
(-2)^33 - (-2)^2 + 3(-2) = -83 - 4 -6 = -83 - 10 = -383
  1. Subtrair os resultados:
A = 73 - ( -383 ) = 73 + 383 = 453 = 15

Resposta

A área limitada pelas curvas dadas é 15 unidades quadradas.

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