Prove que a função f: R longrightarrow R dada por f(x)=sumn=0^infty (-1)^n(2 n+1)! x^2 n+1 está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
y^prime prime+y=0

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede para a gente provar duas coisas sobre
  1. que essa série de potências converge (ou seja, que está bem-definida pra todo );
  2. que ela é solução da EDO
O conteúdo principal é análise de séries de potências (teste da razão, convergência absoluta e diferenciação termo a termo) e depois cálculo de derivadas para ver se .

Passo 2

Vamos mostrar que f(x) é bem-definida, isto é, que a série
sumn=0^inftyan(x), an(x)=(-1)^n(2n+1)!x^2n+1
converge absolutamente para todo x.
Aplicamos o teste da razão:
l|an(x)r|=|x|^2n+1(2n+1)!,
então
|an+1(x)||an(x)| =|x|^2(n+1)+1/(2(n+1)+1)!|x|^2n+1/(2n+1)! =|x|^2(2n+2)(2n+3)
Quando ntoinfty,
|x|^2(2n+2)(2n+3)to 0<1
Logo a série converge absolutamente para qualquer x. Convergência absoluta implica convergência normal em compactos, o que autoriza diferenciar termo a termo.

Passo 3

Agora vamos checar se f resolve y''+y=0.
  1. Derivada primeira (diferenciação termo a termo):
f'(x)=sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!,(2n+1),x^2n =sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,x^2n
  1. Derivada segunda:
f''(x) =sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,(2n),x^2n-1 =sumn=1^infty(-1)^n(2n-1)!,x^2n-1
Agora reindexamos na soma de f'': seja m=n-1, então n=m+1 e 2n-1=2m+1.
f''(x) =summ=0^infty(-1)^m+1(2m+1)!,x^2m+1
  1. Somando f''+f:
f''(x)+f(x) =summ=0^infty(-1)^m+1(2m+1)!x^2m+1 +summ=0^infty(-1)^m(2m+1)!x^2m+1
Dentro da soma, o coeficiente de x^2m+1 é
(-1)^m+1+(-1)^m=0,
logo cada termo se anula e f''(x)+f(x)=0 para todo x.

Resposta

A série que define
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!x^2n+1
converge absolutamente para todo x, então f está bem-definida, e diferenciando termo a termo verificamos que
,f''(x)+f(x)=0.
Portanto f é solução da EDO y''+y=0.

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