Prove que a função dada por está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado pede para a gente provar duas coisas sobre
que essa série de potências converge (ou seja, que está bem-definida pra todo );
que ela é solução da EDO
O conteúdo principal é análise de séries de potências (teste da razão, convergência absoluta e diferenciação termo a termo) e depois cálculo de derivadas para ver se .
Passo 2
Vamos mostrar que é bem-definida, isto é, que a série
converge absolutamente para todo .
Aplicamos o teste da razão:
Logo a série converge absolutamente para qualquer x. Convergência absoluta implica convergência normal em compactos, o que autoriza diferenciar termo a termo.
logo cada termo se anula e f''(x)+f(x)=0 para todo x.
Resposta
A série que define f(x)=sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!x^2n+1
converge absolutamente para todo x, então f está bem-definida, e diferenciando termo a termo verificamos que ,f''(x)+f(x)=0.
Portanto f é solução da EDO y''+y=0.