Use o teorema de Green para calcular a integral de linha sobre a curva fechada simples C.
ointC[(x^2-y) d x+(x+y^2) d y]
, onde C é a linha perimetral do triângulo OAB , tomada no sentido anti-horário, com O=(0,0), A=(1,0) e B=(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha sobre a curva fechada C . A integral que temos é:
ointC[(x^2-y) dx + (x + y^2) dy]
A curva C é o contorno do triângulo com vértices em O(0,0) , A(1,0) e B(1,1) , percorrida no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, o Teorema de Green nos diz que para uma curva fechada C que delimita uma região D no plano, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre D . A fórmula do teorema é:
ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, P = x^2 - y e Q = x + y^2 . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Vamos calcular partial Qpartial x e partial Ppartial y :
partial Qpartial x = partialpartial x(x + y^2) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y(x^2 - y) = -1
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2

Passo 4

Então, a integral dupla fica:
integral duplaD 2 , dA
Isso significa que precisamos calcular duas vezes a área da região D que é o triângulo OAB.

Passo 5

Vamos encontrar a área do triângulo OAB. As coordenadas dos vértices são O(0,0) , A(1,0) e B(1,1) . A base do triângulo é de 1 unidade (de O a A ) e a altura também é de 1 unidade (de A a B ).
A fórmula da área do triângulo é:
Área = base times a<ura2 = 1 times 12 = 12 Á

Passo 6

Agora, multiplicamos a área por 2 :
2 times 12 = 1

Resposta

A integral de linha sobre a curva C é igual a 1.

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