Use o teorema de Green para calcular a integral de linha sobre a curva fechada simples C.
, onde C é a linha perimetral do triângulo OAB , tomada no sentido anti-horário, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha sobre a curva fechada
. A integral que temos é:
A curva
é o contorno do triângulo com vértices em
,
e
, percorrida no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, o Teorema de Green nos diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
no plano, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre
. A fórmula do teorema é:
Aqui,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Então, a integral dupla fica:
Isso significa que precisamos calcular duas vezes a área da região
que é o triângulo OAB.
Passo 5
Vamos encontrar a área do triângulo OAB. As coordenadas dos vértices são
,
e
. A base do triângulo é de
unidade (de
a
) e a altura também é de
unidade (de
a
).
A fórmula da área do triângulo é:
Passo 6
Agora, multiplicamos a área por
:
Resposta
A integral de linha sobre a curva
é igual a 1.