Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potèncias abaixo:
Passo 1
A série dada é . O conteúdo aqui é convergência de séries de potências: queremos achar o raio de convergência e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da raiz, que é bem prático para séries que envolvem potências com fatores exponenciais.
Passo 2
O teste da raiz diz que, para uma série , se , então: se a série converge absolutamente, se diverge e, se , o teste é inconclusivo. No caso de uma série de potências , o raio de convergência é .
Passo 3
Aqui temos . Vamos calcular
Passo 4
Separe em duas raízes:
raiz[n]|x|^2n = |x|^2,raiz[n]e^n^2 = e^n
Logo
$$
L = \lim_{n\to\infty} \frac{|x|2}{en} = 0.
$$
Passo 5
Como para qualquer x real temos L = 0 < 1, a série converge absolutamente para todo x.
Isso significa que o raio de convergência é infinito: R = infty. Consequentemente, o intervalo de convergência é todo o eixo real.
Passo 6
Resumindo, a série converge para todo xinR.
Resposta
Raio de convergência: R = ∞
Intervalo de convergência: (−∞, ∞)