Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potèncias abaixo:
sumn=0^infty x^2 ne^n^2

Passo 1

A série dada é sumn=0^infty x^2ne^n^2. O conteúdo aqui é convergência de séries de potências: queremos achar o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da raiz, que é bem prático para séries que envolvem potências com fatores exponenciais.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para uma série sum un, se L = limsupntoinfty raiz[n]|un|, então: se L<1 a série converge absolutamente, se L>1 diverge e, se L=1, o teste é inconclusivo. No caso de uma série de potências sum an x^n, o raio de convergência é R = 1/limsupntoinfty raiz[n]|an|.

Passo 3

Aqui temos un = x^2ne^n^2. Vamos calcular
L = limntoinfty raiz[n]|x^2ne^n^2|

Passo 4

Separe em duas raízes:
raiz[n]|x|^2n = |x|^2,raiz[n]e^n^2 = e^n
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$$
L = \lim_{n\to\infty} \frac{|x|2}{en} = 0.
$$

Passo 5

Como para qualquer x real temos L = 0 < 1, a série converge absolutamente para todo x.
Isso significa que o raio de convergência é infinito: R = infty. Consequentemente, o intervalo de convergência é todo o eixo real.

Passo 6

Resumindo, a série converge para todo xinR.

Resposta

Raio de convergência: R = ∞
Intervalo de convergência: (−∞, ∞)

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