Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries, nos seguintes casos:
(1,5) \sum_{n=1}^{+\infty} n^{-2}(x+3)^{n-1} ;

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{+\infty} n^{-2}(x+3)^{n-1}.
O conteúdo envolvido é análise de séries de potências: vamos usar o teste da razão (ou o teste da raiz) para encontrar o raio R e depois verificar a convergência nos pontos extremos do intervalo.

Passo 2

Reindexando para ficar na forma usual \sum_{k=0}^\infty a_k (x+3)^k, seja k=n-1. Então
a_k = (k+1)^{-2}
e a série vira
\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)^{-2}(x+3)^k.
Aplicando o teste da razão:
\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}(x+3)^{k+1}}{a_k(x+3)^k}\right| =\lim_{k\to\infty}\frac{(k+2)^{-2}}{(k+1)^{-2}}\;|x+3| =\lim_{k\to\infty}\Bigl(\frac{k+1}{k+2}\Bigr)^{2}\;|x+3| =|x+3|.
Para convergir é necessário |x+3|<1. Logo o raio de convergência é
R = 1.

Passo 3

Da condição |x+3|<1 obtemos o intervalo aberto de convergência:
-1 < x+3 < 1 \quad\Longrightarrow\quad -4 < x < -2.

Passo 4

Agora verificamos os extremos:
  1. Em x=-4 temos x+3=-1 e a série torna-se
\sum_{n=1}^\infty n^{-2}(-1)^{\,n-1},
que converge absolutamente pois \sum n^{-2} é convergente.
  1. Em x=-2 temos x+3=1 e a série é
\sum_{n=1}^\infty n^{-2},
que também converge (série p-com p=2>1).
Ambos os extremos são incluídos.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: [-4,\,-2].

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