Questão 5. (1,0 ponto) Calcule a integral
\iint_{R}\left(y+x^{2} y^{-1}\right) d A
onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leq x \leq 2\right. e \left.1 \leq y \leq 3\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\bigl(y + x^{2}y^{-1}\bigr)\,dA
no retângulo R = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 \le x \le 2,\;1 \le y \le 3\}. O conteúdo aqui é o Teorema de Fubini para retângulos, a linearidade da integral e integração de funções elementares.

Passo 2

Como a função é contínua em R, pelo Teorema de Fubini podemos escrever a integral dupla como iterada e usar linearidade:
\iint_{R}\bigl(y + x^{2}y^{-1}\bigr)\,dA = \int_{x=0}^{2}\!\int_{y=1}^{3}\bigl(y + x^{2}y^{-1}\bigr)\,dy\,dx = \int_{0}^{2}\!\int_{1}^{3}y\,dy\,dx \;+\;\int_{0}^{2}\!\int_{1}^{3}x^{2}y^{-1}\,dy\,dx.

Passo 3

Calcular a primeira parte:
\int_{0}^{2}\!\int_{1}^{3}y\,dy\,dx = \int_{0}^{2}\Bigl[\tfrac{1}{2}y^{2}\Bigr]_{y=1}^{y=3}dx = \int_{0}^{2}\frac{1}{2}(9 - 1)\,dx = \int_{0}^{2}4\,dx = 4\cdot(2-0) = 8.

Passo 4

Calcular a segunda parte:
\int_{0}^{2}\!\int_{1}^{3}x^{2}y^{-1}\,dy\,dx = \int_{0}^{2}x^{2}\Bigl[\ln(y)\Bigr]_{y=1}^{y=3}dx = \int_{0}^{2}x^{2}\bigl(\ln(3)-\ln(1)\bigr)\,dx = \ln(3)\int_{0}^{2}x^{2}\,dx = \ln(3)\cdot\frac{2^{3}}{3} = \frac{8}{3}\ln(3).

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos o valor da integral dupla:
8 \;+\;\frac{8}{3}\ln(3).

Resposta

8 + \frac{8}{3}\ln(3).

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