(2 pts) Suponha que a temperatura em um ponto
é dada por
(a) (2 pts) Encontre a derivada direcional de
no ponto
, na direção do vetor
(b) Em qual direção desde
aumenta mais rapidamente? Qual é a máxima taxa de variação de
em
?
(b) Em qual direção desde
Passo 1
O enunciado dá a temperatura em um ponto
por
e pede:
(a) a derivada direcional de em
na direção de
.
(b) a direção de máximo crescimento de em
e a respectiva taxa máxima de variação.
(a) a derivada direcional de
(b) a direção de máximo crescimento de
Passo 2
Lembrando que para uma função
a derivada direcional em
na direção do vetor unitário
é
e que a direção de maior crescimento é a direção de
com taxa máxima
.
Passo 3
Calcular o gradiente de
. Como
temos
e análogas para
e
. Assim
Passo 4
Avaliar
em
. Primeiro
, então
Passo 5
Encontrar o versor na direção de
.
Logo a derivada direcional é
Passo 6
A direção de maior crescimento é a direção de
. Um versor nessa direção é
A taxa máxima de variação é
Resposta
(a)
(b) A direção de maior crescimento em
é
e a máxima taxa de variação é .
e a máxima taxa de variação é