(2 pts) Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por
T(x, y, z)=\frac{200}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
(a) (2 pts) Encontre a derivada direcional de T no ponto P(1,3,-2), na direção do vetor \mathbf{r}=\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}
(b) Em qual direção desde P T aumenta mais rapidamente? Qual é a máxima taxa de variação de T em P ?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura em um ponto (x,y,z) por
T(x,y,z)=\frac{200}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
e pede:
(a) a derivada direcional de T em P(1,3,-2) na direção de \mathbf{r}=\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}.
(b) a direção de máximo crescimento de T em P e a respectiva taxa máxima de variação.

Passo 2

Lembrando que para uma função T(x,y,z) a derivada direcional em P na direção do vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}T(P)=\nabla T(P)\cdot \mathbf{u}
e que a direção de maior crescimento é a direção de \nabla T(P) com taxa máxima \|\nabla T(P)\|.

Passo 3

Calcular o gradiente de T. Como
T(x,y,z)=200\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1},
temos
\frac{\partial T}{\partial x}=-200\cdot1\cdot (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-2}\cdot2x =-\frac{400\,x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}},
e análogas para y e z. Assim
\nabla T(x,y,z) =\Bigl(-\tfrac{400x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}},\,-\tfrac{400y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}},\,-\tfrac{400z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\Bigr).

Passo 4

Avaliar \nabla T em P(1,3,-2). Primeiro 1^{2}+3^{2}+(-2)^{2}=14, então
\nabla T(P) =\Bigl(-\tfrac{400\cdot1}{14^{2}},\,-\tfrac{400\cdot3}{14^{2}},\,-\tfrac{400\cdot(-2)}{14^{2}}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{100}{49},\,-\tfrac{300}{49},\tfrac{200}{49}\Bigr).

Passo 5

Encontrar o versor na direção de \mathbf{r}=(1,-1,1).
\|\mathbf{r}\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}, \qquad \mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1).
Logo a derivada direcional é
D_{\mathbf{u}}T(P) =\nabla T(P)\cdot\mathbf{u} =\Bigl(-\tfrac{100}{49},-\tfrac{300}{49},\tfrac{200}{49}\Bigr)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1) =\frac{-100+300+200}{49\,\sqrt{3}} =\frac{400}{49\sqrt{3}}.

Passo 6

A direção de maior crescimento é a direção de \nabla T(P). Um versor nessa direção é
\frac{\nabla T(P)}{\|\nabla T(P)\|} =\frac{\bigl(-\tfrac{100}{49},-\tfrac{300}{49},\tfrac{200}{49}\bigr)} {\sqrt{\bigl(\tfrac{100}{49}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{300}{49}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{200}{49}\bigr)^{2}}} =\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{14}},-\tfrac{3}{\sqrt{14}},\tfrac{2}{\sqrt{14}}\Bigr).
A taxa máxima de variação é
\|\nabla T(P)\| =\sqrt{\Bigl(-\tfrac{100}{49}\Bigr)^{2}+\Bigl(-\tfrac{300}{49}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{200}{49}\Bigr)^{2}} =\frac{100\sqrt{14}}{49}.

Resposta

(a) \displaystyle D_{\mathbf{u}}T(P)=\frac{400}{49\sqrt{3}}
(b) A direção de maior crescimento em P é \displaystyle \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{14}},-\tfrac{3}{\sqrt{14}},\tfrac{2}{\sqrt{14}}\bigr)
e a máxima taxa de variação é \displaystyle \frac{100\sqrt{14}}{49}.

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