Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries, nos seguintes casos:
(1,5) \sum_{n=1}^{+\infty} 4^{n} n^{-1} x^{2 n}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty}4^{n}n^{-1}x^{2n}.
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da raiz (ou razão) para achar o raio.

Passo 2

Observe que a série envolve apenas potências pares de x. Para simplificar, defina
y = x^2,
e escreva a série como
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{n}\,y^n.
Agora é uma série de potências em y com coeficientes a_n = 4^n/n.

Passo 3

Aplicamos o teste da raiz em n para
\sum_{n=1}^{\infty} a_n\,y^n.
Calcule
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\bigl|a_n y^n\bigr|} =\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{4^n}{n}\,|y|^n} =\limsup_{n\to\infty}\frac{4\,|y|}{n^{1/n}} =4\,|y|.
Para convergir precisamos de 4|y|<1, ou seja
|y|<\frac14.
Dessa forma, o raio de convergência em y é
R_y = \frac14.

Passo 4

Voltando a x, temos y=x^2. A condição |y|<1/4 vira
|x^2|<\frac14 \quad\Longrightarrow\quad |x|<\frac12.
Logo, o raio de convergência em x é
R = \frac12.

Passo 5

Falta testar os extremos x=\pm\frac12. Para x=\pm\frac12 temos y=(\pm\frac12)^2=\frac14 e a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^n}{n}\Bigl(\frac14\Bigr)^n =\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n,
que é a série harmônica e diverge. Portanto, os extremos não entram no intervalo.

Resposta

O raio de convergência é R=\tfrac12 e o intervalo de convergência é
\bigl(-\tfrac12,\tfrac12\bigr).

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