Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries, nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da raiz (ou razão) para achar o raio.
Passo 2
Observe que a série envolve apenas potências pares de
. Para simplificar, defina
e escreva a série como
Agora é uma série de potências em
com coeficientes
.
Passo 3
Aplicamos o teste da raiz em
para
Calcule
Para convergir precisamos de
, ou seja
Dessa forma, o raio de convergência em
é
Passo 4
Voltando a
, temos
. A condição
vira
Logo, o raio de convergência em
é
Passo 5
Falta testar os extremos
. Para
temos
e a série torna-se
que é a série harmônica e diverge. Portanto, os extremos não entram no intervalo.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é