5 Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a derivada direcional de uma função de três variáveis na direção do vetor unitário $\vec{k}$ coincide com a derivada parcial em relação à variável \z\. O conteúdo envolve derivada direcional, definição de limite e derivada parcial.
Passo 2
Primeiro, recordamos a definição de derivada direcional. Se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)\ é um vetor unitário, então a derivada direcional de \f(x,y,z)\ na direção de \mathbf{u}\ é dada por
[
D_{\mathbf{u}} f(x,y,z) =
\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h u_1,; y + h u_2,; z + h u_3) - f(x,y,z)}{h}.
]
[
D_{\mathbf{u}} f(x,y,z) =
\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h u_1,; y + h u_2,; z + h u_3) - f(x,y,z)}{h}.
]
Passo 3
Agora escolhemos \mathbf{u} = \vec{k} = (0,0,1)\. Substituindo na definição, obtemos
[
D_{\vec{k}} f(x,y,z) =
\lim_{h \to 0} \frac{f(x + 0,; y + 0,; z + h) - f(x,y,z)}{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{f(x,y,z+h) - f(x,y,z)}{h}.
]
[
D_{\vec{k}} f(x,y,z) =
\lim_{h \to 0} \frac{f(x + 0,; y + 0,; z + h) - f(x,y,z)}{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{f(x,y,z+h) - f(x,y,z)}{h}.
]
Passo 4
Mas a última expressão é exatamente a definição de derivada parcial de \f\ em relação a \z\. Logo, concluímos que \D_{\vec{k}} f(x,y,z)\ coincide com \partial f/\partial z\.
Resposta
D_{\vec{k}} f(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial z}