Identifique e e determine o raio e o intervalo de convergência da série dada.
Passo 1
A questão pede para identificar o centro e os coeficientes de uma série de potências e, em seguida, calcular o raio e o intervalo de convergência. O conteúdo é séries de potências, e vamos precisar do teste da razão para o raio e dos testes de convergência em pontos extremos.
Passo 2
A série dada é
o que já está na forma padrão . Comparando, vemos que
Passo 3
Para achar o raio de convergência , usamos o teste da razão. Considere
Pelo teste da razão, a série converge se L,|x|<1, ou seja 2,|x|<1 Longrightarrow |x|<12
Passo 4
Agora determinamos o intervalo de convergência verificando os extremos x=pmtfrac12:
Para x=+tfrac12: a série vira
sumn=0^infty2^nln(n+3)l(tfrac12r)^n = sumn=0^infty1ln(n+3),
que diverge pois os termos 1/ln(n+3) não caem rápido o suficiente (compara-se com 1/ln n ou pelo teste da integral).
- Para x=-tfrac12: a série é sumn=0^infty2^nln(n+3)l(-tfrac12r)^n = sumn=0^infty(-1)^nln(n+3),
que converge condicionalmente pelo critério de Leibniz, pois 1/ln(n+3) é decrescente e tende a zero.
Resposta
x_{0}=0, ;c_{n}=\frac{2^{n}}{\ln(n+3)}, ;R=\tfrac12, ;intervalo de convergência:[-\tfrac12,,\tfrac12).