Identifique x0 e cn e determine o raio e o intervalo de convergência da série dada.
sumn=0^infty 2^nln (n+3) x^n

Passo 1

A questão pede para identificar o centro x0 e os coeficientes cn de uma série de potências e, em seguida, calcular o raio e o intervalo de convergência. O conteúdo é séries de potências, e vamos precisar do teste da razão para o raio e dos testes de convergência em pontos extremos.

Passo 2

A série dada é
sumn=0^infty 2^nln(n+3),x^n,
o que já está na forma padrão sum cn(x-x0)^n. Comparando, vemos que
x0=0, cn=2^nln(n+3)

Passo 3

Para achar o raio de convergência R, usamos o teste da razão. Considere
L=limntoinfty|cn+1cn| = limntoinfty2^n+1/ln(n+4)2^n/ln(n+3) = 2limntoinftyln(n+3)ln(n+4) = 2
Pelo teste da razão, a série converge se L,|x|<1, ou seja
2,|x|<1 Longrightarrow |x|<12

Passo 4

Agora determinamos o intervalo de convergência verificando os extremos x=pmtfrac12:
  • Para x=+tfrac12: a série vira
sumn=0^infty2^nln(n+3)l(tfrac12r)^n = sumn=0^infty1ln(n+3),
que diverge pois os termos 1/ln(n+3) não caem rápido o suficiente (compara-se com 1/ln n ou pelo teste da integral).
- Para x=-tfrac12: a série é
sumn=0^infty2^nln(n+3)l(-tfrac12r)^n = sumn=0^infty(-1)^nln(n+3),
que converge condicionalmente pelo critério de Leibniz, pois 1/ln(n+3) é decrescente e tende a zero.

Resposta

x_{0}=0, ;c_{n}=\frac{2^{n}}{\ln(n+3)}, ;R=\tfrac12, ;intervalo de convergência:[-\tfrac12,,\tfrac12).

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