Utilizando a técnica de substituição, calcule as integrais a seguir.
integral (ln (x))^2x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral (ln x)^2x , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com a técnica de substituição. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observe que temos ln x elevado ao quadrado e dividido por x. Vamos definir:
u = ln x
Agora, precisamos encontrar du. Sabemos que a derivada de ln x é 1x, então:
du = 1x , dx
Isso significa que 1x , dx = du, o que simplifica nossa integral.

Passo 3

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral (ln x)^2x , dx = integral u^2 , du
Agora, essa integral é mais simples de resolver. Integrando u^2 em relação a u, obtemos:
integral u^2 , du = u^33 + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

Substituindo u = ln x de volta, a integral resolve para:
(ln x)^33 + C

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