Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência de sumn=0^infty x^n(n+1)^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série infinita:
sumn=0^infty x^n(n+1)^n
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar para quais valores de a série converge. Além disso, vamos precisar revisar um pouco sobre séries de potências e o conceito de intervalo e raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , se o limite:
existe, então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não conclui nada.
Vamos calcular esse limite para a nossa série.

Passo 3

Vamos identificar an = x^n(n+1)^n :
an+1an = x^n+1(n+2)^n+1x^n(n+1)^n = x cdot (n+1)^n(n+2)^n+1
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
an+1an = x cdot ( n+1n+2 )^n cdot 1n+2
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito.

Passo 5

Observamos que:
( n+1n+2 )^n = ( 1 - 1n+2 )^n approx e^-1
Isso porque L = limn to infty x cdot e^-1 cdot 1n+2 = 0 .
Além disso, tende a zero quando tende ao infinito.
Então, o limite fica:

Passo 6

Como para qualquer valor de , e , segundo o Teste da Razão, a série converge para todo .

Resposta

O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é .

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